aalto1 untyped-item.component.html
A refined truncation scheme for quantum Hamiltonians
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
SCI3027
Degree programme
Language
en
Pages
47
Series
Abstract
The numerical diagonalization of matrices is a method central to a host of problems arising in science and engineering disciplines. One such field is computational quantum physics, where the behaviour of quantum systems is simulated using the eigenvalues and eigenvectors of its Hamiltonian operator.
Diagonalizing high- or infinite-dimensional matrices is often tackled through truncation to a relevant, small subspace. This simple form of truncation ignores the behavior of the matrix outside the subspace, introducing error to the results. This error can be reduced through the choice of a bigger subspace, which in turn incurs a computational cost.
This bachelor's thesis presents a new method for truncating tridiagonal matrices dubbed "smooth truncation", which aims to improve the accuracy of truncation with little sacrifice in computational performance. The method relies on computing a correction term for the truncated matrix based on its behaviour outside of the truncated subspace. The new method was applied to diagonalize a practical quantum system, the transmon qubit. Smooth truncation was compared against simple truncation using benchmarks which test the differences in error between methods, as well as the potential reduction in truncated matrix dimension under a given error tolerance.
Smooth truncation exhibited minimally but consistently lower errors when compared to simple truncation. When finding the lowest 1...80 eigenvalues of a transmon system with the parameters EC=0.190GHz, EJ/EC=80 and ng=0, with an error tolerance of 10^-6GHz for the individual eigenvalue, Smooth truncation enabled an average reduction in the dimension of the truncated matrix of up to 0.45. In all, smooth truncation promises potential benefits in niche applications, such as parameter sweeps for characterizing quantum systems.
Matriisien numeerinen diagonalisointi on keskeinen menetelmä lukuisilla tieteen ja tekniikan aloilla. Eräs näistä aloista on laskennallinen kvanttifysiikka, jossa kvanttijärjestelmien käytöstä simuloidaan näiden Hamilton-operaattorien ominaisarvoja ja ominaisvektoreita käyttäen.
Korkean tai äärettömän ulottuvuuden matriisin numeerinen diagonalisointi suoritetaan usein katkaisemalla matriisi ensin pieneen olennaiseen aliavaruuteen. Tämä yksinkertaisen katkaisun muoto jättää matriisin käytöksen kyseisen aliavaruuden ulkopuolella huomiotta, mikä aiheuttaa virheen lopullisissa tuloksissa. Tätä virhettä voi pienentää valitsemalla suuremman aliavaruuden, mikä taas vaikeuttaa ongelmaa laskennallisesti.
Tässä kandidaatintyössä esitetään ja analysoidaan uutta "sileäksi katkaisuksi" nimettyä menetelmää, joka pyrkii tietynlaisilla matriiseilla parempaan ominaisarvojen ja -vektoreiden tarkkuuteen yksinkertaiseen katkaisuun verrattuna ilman merkittävää uhrausta suorituskyvyssä. Menetelmä perustuu korjaustermin laskemiseen, joka johdetaan matriisin käytöksestä katkaistun aliavaruuden ulkopuolella. Uutta menetelmää sovellettiin käytännön kvanttijärjestelmän, transmonikubitin, diagonalisointiin. Sileää katkaisua verrattiin transmonijärjestelmässä yksinkertaiseen katkaisuun laskennallisilla kokeilla, joilla mitattiin sekä menetelmistä aiheutuvaa virhettä, että sileän katkaisun mahdollistamaa aliavaruuden ulottuvuuden pienennystä tietyllä virhetoleranssilla.
Sileä katkaisu osoitti minimaalisesti mutta luotettavasti pienempää virhettä yksinkertaiseen katkaisuun verrattuna. Etsiessä 1...80 pienintä ominaisarvoa 10^-6GHz:n virhetoleranssilla transmonijärjestelmälle, jonka parametrit olivat EC=0,190GHz, EJ/EC}=80 ja ng=0, sileä katkaisu mahdollisti keskimäärin 0,45:n dimension pienennyksen katkaistussa matriisissa. Kaiken kaikkiaan sileä katkaisu voisi tuoda hyötyä tietynlaisiin sovelluksiin, kuten kvanttisysteemien parametripyyhkäisyihin.