aalto1 untyped-item.component.html
On univariate statistical inference of multidimensional extremes
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Doctoral thesis (article-based)
| Defence date: 2025-07-18
Electronic archive copy is available via Aalto Thesis Database.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Major/Subject
Mcode
Degree programme
Language
en
Pages
66 + app. 88
Series
Aalto University publication series Doctoral Theses, 136/2025
Abstract
Extreme value theory is concerned with statistical analysis of rare, and often catastrophic, events. Thus, extreme value theory provides risk analysis tools for a wide range of fields such as finance, insurance, telecommunications and climate modeling.
A classical approach to multivariate and infinite-dimensional extreme value theory is to generalize the maximum domain of attraction condition by considering the componentwise sample maximum. This thesis considers a different approach. We reduce the multivariate or infinite-dimensional case to a univariate one by mapping the original observations to the positive real line with a suitable functional. The desired functional depends on the context, as the map should measure the extremity of an observation.
Our approach to extremes is complicated by the fact that, often in practical settings, only an approximation of the chosen functional is available. Consequently, the contributions of the thesis are two-fold. Firstly, we derive various sufficient conditions for the approximation error such that the standard asymptotic results hold for the selected extreme value index and extreme quantile estimators computed with approximations instead of the true observations. Secondly, the univariate extreme value theory framework under approximations is applied in chosen multivariate and infinitedimensional settings.
As a multivariate application, we consider extreme quantile region estimation for elliptical distributions. Under ellipticity, it turns out that the proper functional measuring extremity is the Mahalanobis distance. In asymptotics, the effect of estimating the unknown location–scatter pair must be taken into account. We give two different extreme quantile region estimators for elliptical distributions—the first estimator is adapted for the heavy-tailed case, and the second one is suitable in a more general framework.
As an infinite-dimensional application, we consider extreme quantile estimation for an Lp-norm of a random function. The Lp-norms corresponding to the realized sample paths must be approximated. As the approximation methods, we consider Riemann sums and Monte Carlo integration. For both methods, we give sufficient conditions such that the standard asymptotic results hold for the Hill estimator and the corresponding extreme quantile estimator computed with the approximated norms. As an interesting excursion, we give a new Chernoff-type bound for the intermediate order statistics. The bound for the intermediate order statistics is used in the derivation of concentration inequalities for the deviation between the Hill estimators computed with the approximations and the true Lp-norms, respectively.
Ääriarvoteoria käsittelee harvinaisten, ja usein katastrofaalisten, tapahtumien tilastollista analyysiä. Tämän vuoksi ääriarvoteoria tarjoaa riskinarvioinnin työkaluja monille aloille kuten rahoitusalalle, vakuutusalalle, tietoliikenteeseen ja ilmaston mallinnukseen.
Klassinen tapa lähestyä moni- ja ääretönulotteista ääriarvoteoriaa on yleistää maksimin attraktioalueen määritelmä alkioittaiselle otosmaksimille. Väitöskirjassa käsittelemme vaihtoehtoista lähestymistapaa. Sopivaa funtionaalia käyttäen me pelkistämme moni- tai ääretönulotteisen tapauksen yksiulotteiseksi kuvaamalla alkuperäiset havainnot positiiviselle reaaliakselille. Toivottu funktionaali riippuu asiayhteydestä, sillä kuvauksen tulisi mitata havainnon äärimmäisyyttä.
Meidän lähestymistapaamme ääriarvoihin vaikeuttaa se, että usein käytännön sovelluksissa vain likiarvoistus valitusta funtionaalista on saatavilla. Tästä johtuen väitöskirjan tulokset voidaan jakaa kahteen ryhmään. Ensinnäkin johdamme likiarvoistusvirheelle erinäisiä riittäviä ehtoja, joiden alla tunnetut asymptoottiset tulokset pätevät valituille ääriarvoindeksi- ja äärikvantiili-estimaattoreille, kun todellisten havaintojen sijasta estimoinnissa käytetään likiarvoja. Toiseksi yksiulotteista ääriarvoteoriaa likiarvoistuksilla sovelletaan valittuihin moni- ja ääretönulotteisiin asetelmiin.
Moniulotteiseksi sovelluskohteeksi valitsemme äärikvantiilialueen estimoinnin elliptisten jakaumien alla. Osoittautuu, että elliptisille jakaumille sopiva funktionaali, joka mittaa havainnon äärimmäisyyttä on Mahalanobis etäisyys. Asymptoottisissa tuloksissa tuntemattoman sijainnin ja sironnan estimointi pitää ottaa huomioon. Annamme kaksi estimaattoria elliptisten jakaumien äärikvantiilialueille—ensimmäinen estimaattori soveltuu raskashäntäisille elliptisille jakaumille, ja toinen estimaattori on sopiva laajemmalle osajoukolle elliptisiä jakaumia.
Ääretönulotteiseksi sovelluskohteeksi valitsemme satunnaisfunktiota vastaavan Lp-normin äärikvantiilin estimoinnin. Vain likiarvoistukset havaittuja otospolkuja vastaavista Lp-normeista on saatavilla. Käsittelemme tapauksia, joissa normit ovat likiarvoistettu joko Riemannin summilla tai Monte Carlo -integroinnilla. Molemmille menetelmille esitämme riittävät ehdot niin, että tunnetut asymptoottiset tulokset pätevät Hill-estimaattorille ja sitä vastaavalle äärikvantiili-estimaattorille, kun normien likiarvoja käytetään estimoinnissa. Mielenkiintoisena sivu-uomana annamme uuden Chernoff-tyyppisen ylärajan väli-järjestystunnusluvuille. Ylärajaa väli-järjestystunnusluvuille käytetään Hill-estimaattoreiden etäisyyteen liittyvien keskittyneisyysepäyhtälöiden johtamisessa, kun ensimmäinen estimaattori lasketaan käyttäen likiarvoja ja toinen estimaattori käyttäen oikeita Lp-normeja.
Description
Supervising professor
Ilmonen, Pauliina, Assoc. Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, FinlandOther note
Parts
- [Publication 1]: J. Pere, P. Ilmonen and L. Viitasaari. On extreme quantile region estimation under heavy-tailed elliptical distributions. Journal of Multivariate Analysis, vol. 202, article 105314, 105314, July 2024.
Full text in Acris/Aaltodoc: https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202404103010DOI: 10.1016/j.jmva.2024.105314 View at publisher
- [Publication 2]: J. Pere, P. Ilmonen and L. Viitasaari. Moment Estimator-Based Extreme Quantile Estimation with Erroneous Observations: Application to Elliptical Extreme Quantile Region Estimation. Submitted for publication, available at arXiv:2502.08510, 20 pages, February 2025.
- [Publication 3]: J. Pere, B. Avelin, V. Garino, P. Ilmonen and L. Viitasaari. On the Impact of Approximation Errors on Extreme Quantile Estimation with Applications to Functional Data Analysis. Submitted for publication, available at arXiv:2307.03581v2, 30 pages, October 2024.
- [Publication 4]: J. Pere. On extreme quantile estimation with approximated Lp-norms. 23rd European Young Statisticians Meeting Proceedings, Accepted, 6 pages, February 2024.