Time-Frequency Analysis on Finite Cyclic Groups

Abstract

In time-frequency analysis, we attempt to unify a signal's time and frequency representations into a single energy density-like function in the time-frequency plane. In this thesis, we explore the theory of time-frequency analysis, specifically on discrete periodic signals. We use the Rihaczek transform as a basis for the general class because it behaves well in the discrete periodic case. All time-frequency transforms can be expressed as a convolution of a kernel function and the Rihaczek transform. Often the most useful transforms are a smoothening of the Rihaczek transform such that we reduce the noise without loosing essential information about the signal. We examine how the properties of kernels determine the properties of the transforms they define.

We also briefly inspect the properties of quantizations. Each time-frequency transform defines a unique quantization. Thus, the properties of the transform are encoded in the quantization as well as in the kernel. Lastly, we introduce a few noteworthy time-frequency transforms and compare them to the widely used spectrograms.

I Fourieranalys arbetar vi med signaler. Signaler har en tidsrepresentation och en motsvarande frekvensrepresentation. Båda representationerna innehåller all information om signalen, men inte nödvändigtvis på ett användbart sätt. Målet med tid-frekvensanalys är att ena både tid- och frekvensrepresentationen av en signal. Resultatet är en funktion i den så kallade tid-frekvensplanet som berättar vilka frekvenser som bygger upp signalen vid olika tidpunkter. För ljudsignaler kan vi jämföra denna funktion med noter. Noter berättar vilka toner och vilken rytm som utgör en melodi. I detta kandidatarbete utforskar vi tid-frekvensanalys speciellt för diskreta periodiska signaler.

En tid-frekvenstransform är en avbildning av signaler u och v till en funktion C(u,v) i tid-frekvensplanet. Alla tid-frekvenstransformer har en motsvarande tid-frekvensdistribution C(u,u) som avbildar endast en signal till tid-frekvensplanet. Distributionen liknar en energidensitet, även om den i enskilda punkter kan anta komplexa värden, vilket en energidensitet strikt taget inte kan göra. Alltså beskriver distributionen hur mycket energi som krävs för att ge upphov till signalen i fråga inom ett visst tidsintervall och ett visst frekvensband.

Teorin i detta arbete grundar sig på Rihaczektransformen för att den beter sig väl med diskreta och periodiska signaler. Alla andra tid-frekvenstransformer kan uttryckas som en konvolution av Rihaczektransformen och en tid-frekvenskärna. Alla tid-frekvenstransformer är alltså i grund och botten modifierade versioner av Rihaczektransformen. Ofta så är de mest användbara transformerna specifika utjämningar av Rihaczektransformen där målet är att bli av med bruset i signalen utan att förstöra den relevanta informationen. Valet på tid-frekvenskärnan bestämmer hur Rihaczektransformen ändras, alltså vilka egenskaper den nya transformen kommer att ha. Vi granskar även kortfattat kvantiseringar. En kvantisering inom tid-frekvensanalys är en koppling mellan en tid-frekvenstransform samt en operation på enskilda signaler. Varje kvantisering definierar en motsvarande transform och vice versa. Transformens egenskaper finns alltså kodade i såväl kärnan som kvantiseringen på ett ekvivalent sätt.