## Real Algebraic Geometry in Additive Number Theory

 dc.contributor Aalto-yliopisto fi dc.contributor Aalto University en dc.contributor.advisor Engström, Alexander, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland dc.contributor.author Sjöland, Erik dc.contributor.department Matematiikan ja systeemianalyysin laitos fi dc.contributor.department Department of Mathematics and Systems Analysis en dc.contributor.school Perustieteiden korkeakoulu fi dc.contributor.school School of Science en dc.contributor.supervisor Engström, Alexander, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland dc.date.accessioned 2014-11-07T10:00:22Z dc.date.available 2014-11-07T10:00:22Z dc.date.defence 2014-11-28 dc.date.issued 2014 dc.description.abstract During the last decade new techniques have been developed in order to solve polynomial optimization problems that are invariant under the action of a group using semidefinite programming. In this thesis we apply these methods to additive number theory. In particular we set up a novel machinery for counting arithmetic progressions using real algebraic geometry. We prove several new results related to Szemerédi's theorem. We prove results for arithmetic progressions of length 3 that one has not been able to prove using Fourier analytic methods or ergotic theory, which are the most commonly used tools in additive number theory. Instead of trying to prove existence of arithmetic progressions we do the most natural generalization: we count them. To our knowledge we give the first results on the form "There are at least W(k,G,d) arithmetic progressions of length k in any subset S of the elements of G with |S|=|G|d.", and we discuss how our results could possibly be improved in order to give a new proof of Szemerédi's theorem using real algebraic geometry. A similar type of results are theorems on the form "There are at least R(k,G,c) monochromatic arithmetic progressions of length k in any c-coloring of the finite group G.". There are many theorems of this type for 2-colorings, and we prove several new results in this thesis. Some of the new results hold for any finite group G, including non-abelian groups, which are very difficult to analyze using Fourier analytic methods. en dc.description.abstract Under det senaste årtiondet har nya metoder utvecklats för att lösa polynoma optimeringsproblem som är invarianta under gruppverkan genom att använda semidefinit optimering. I den här avhandlingen använder vi de här metoderna för att lösa problem från additiv talteori. Mer specifikt utvecklar vi nya metoder för att räkna aritmetiska talföljder genom att använda oss av reell algebraisk geometri. Vi bevisar flera nya resultat relaterade till Szemerédis sats. Vi har nya resultat för aritmetiska talföljder av längd tre, vilka inte har bevisats med Fourier-analytiska metoder eller ergodisk teori, de mest använda metoderna i additiv talteori. Istället för att försöka visa existensen av aritmetiska talföljder så gör vi den mest naturliga generaliseringen: vi räknar dem. Så vitt vi vet ger vi de första resultaten på formen "Det finns åtminstone W(k,G,d) aritmetiska talföljder av längd k i alla olika delmängder S av elementen i den ändliga gruppen G där |S| = |G|d.". Vi diskuterar hur våra resultat eventuellt kan förbättras för att ge ett nytt bevis av Szemerédis sats baserat på reell algebraisk geometri. Liknande resultat är satser på formen "Det finns åtminstone R(k,G,c) enfärgade aritmetiska talföljder av längd k i alla olika c-färgningar av den ändliga gruppen G.". Det finns många satser av den här typen för två-färgningar, och vi bevisar flera nya resultat i den här avhandlingen. Vissa av våra resultat håller för alla olika ändliga grupper G, även för ickeabelska grupper, vilka är väldigt svåra att analysera med Fourier-analytiska metoder. fi dc.format.extent 30 + app. 131 dc.format.mimetype application/pdf en dc.identifier.isbn 978-952-60-5914-3 (electronic) dc.identifier.isbn 978-952-60-5913-6 (printed) dc.identifier.issn 1799-4942 (electronic) dc.identifier.issn 1799-4934 (printed) dc.identifier.issn 1799-4934 (ISSN-L) dc.identifier.uri https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/14427 dc.identifier.urn URN:ISBN:978-952-60-5914-3 dc.language.iso en en dc.opn Sanyal, Raman, Prof., Freie Universität Berlin, Germany dc.publisher Aalto University en dc.publisher Aalto-yliopisto fi dc.relation.haspart [Publication 1]: Erik Sjöland. Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of cyclic groups. arxiv:1408.1058, 15 Pages, 2014. dc.relation.haspart [Publication 2]: Erik Sjöland. Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of any finite group. arxiv:1408.1088, 16 Pages, 2014. dc.relation.haspart [Publication 3]: Erik Sjöland. Enumeration of three term arithmetic progressions in fixed density sets. arxiv:1408.1063, 62 Pages, 2014. dc.relation.haspart [Publication 4]: Erik Sjöland. Using real algebraic geometry to solve combinatorial problems with symmetries. arxiv:1408.1065, 29 Pages, 2014. dc.relation.ispartofseries Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS en dc.relation.ispartofseries 162/2014 dc.rev Schweighofer, Markus, Prof., Universität Konstanz, Germany dc.rev Vinzant, Cynthia, Prof., University of Michigan, USA dc.subject.keyword real algebraic geometry en dc.subject.keyword additive number theory en dc.subject.keyword arithmetic progressions en dc.subject.keyword semidefinite programming en dc.subject.keyword reell algebraisk geometri sv dc.subject.keyword additiv talteori sv dc.subject.keyword aritmetiska talföljder sv dc.subject.keyword semidefinit optimering sv dc.subject.other Mathematics en dc.title Real Algebraic Geometry in Additive Number Theory en dc.title Reell algebraisk geometri i additiv talteori sv dc.type G5 Artikkeliväitöskirja fi dc.type.dcmitype text en dc.type.ontasot Doctoral dissertation (article-based) en dc.type.ontasot Väitöskirja (artikkeli) fi local.aalto.digiauth ask local.aalto.digifolder Aalto_64341
##### Original bundle
Now showing 1 - 5 of 5
No Thumbnail Available
Name:
isbn9789526059143.pdf
Size:
212.22 KB
Format:
No Thumbnail Available
Name:
article1.pdf
Size:
360.65 KB
Format:
Description:
submitted/preprint version
No Thumbnail Available
Name:
article2.pdf
Size:
360.05 KB
Format:
Description:
submitted/preprint version
No Thumbnail Available
Name:
article3.pdf
Size:
849.68 KB
Format: