Real Algebraic Geometry in Additive Number Theory

dc.contributorAalto-yliopistofi
dc.contributorAalto Universityen
dc.contributor.advisorEngström, Alexander, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
dc.contributor.authorSjöland, Erik
dc.contributor.departmentMatematiikan ja systeemianalyysin laitosfi
dc.contributor.departmentDepartment of Mathematics and Systems Analysisen
dc.contributor.schoolPerustieteiden korkeakoulufi
dc.contributor.schoolSchool of Scienceen
dc.contributor.supervisorEngström, Alexander, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
dc.date.accessioned2014-11-07T10:00:22Z
dc.date.available2014-11-07T10:00:22Z
dc.date.defence2014-11-28
dc.date.issued2014
dc.description.abstractDuring the last decade new techniques have been developed in order to solve polynomial optimization problems that are invariant under the action of a group using semidefinite programming. In this thesis we apply these methods to additive number theory. In particular we set up a novel machinery for counting arithmetic progressions using real algebraic geometry. We prove several new results related to Szemerédi's theorem. We prove results for arithmetic progressions of length 3 that one has not been able to prove using Fourier analytic methods or ergotic theory, which are the most commonly used tools in additive number theory. Instead of trying to prove existence of arithmetic progressions we do the most natural generalization: we count them. To our knowledge we give the first results on the form "There are at least W(k,G,d) arithmetic progressions of length k in any subset S of the elements of G with |S|=|G|d.", and we discuss how our results could possibly be improved in order to give a new proof of Szemerédi's theorem using real algebraic geometry. A similar type of results are theorems on the form "There are at least R(k,G,c) monochromatic arithmetic progressions of length k in any c-coloring of the finite group G.". There are many theorems of this type for 2-colorings, and we prove several new results in this thesis. Some of the new results hold for any finite group G, including non-abelian groups, which are very difficult to analyze using Fourier analytic methods.en
dc.description.abstractUnder det senaste årtiondet har nya metoder utvecklats för att lösa polynoma optimeringsproblem som är invarianta under gruppverkan genom att använda semidefinit optimering. I den här avhandlingen använder vi de här metoderna för att lösa problem från additiv talteori. Mer specifikt utvecklar vi nya metoder för att räkna aritmetiska talföljder genom att använda oss av reell algebraisk geometri. Vi bevisar flera nya resultat relaterade till Szemerédis sats. Vi har nya resultat för aritmetiska talföljder av längd tre, vilka inte har bevisats med Fourier-analytiska metoder eller ergodisk teori, de mest använda metoderna i additiv talteori. Istället för att försöka visa existensen av aritmetiska talföljder så gör vi den mest naturliga generaliseringen: vi räknar dem. Så vitt vi vet ger vi de första resultaten på formen "Det finns åtminstone W(k,G,d) aritmetiska talföljder av längd k i alla olika delmängder S av elementen i den ändliga gruppen G där |S| = |G|d.". Vi diskuterar hur våra resultat eventuellt kan förbättras för att ge ett nytt bevis av Szemerédis sats baserat på reell algebraisk geometri. Liknande resultat är satser på formen "Det finns åtminstone R(k,G,c) enfärgade aritmetiska talföljder av längd k i alla olika c-färgningar av den ändliga gruppen G.". Det finns många satser av den här typen för två-färgningar, och vi bevisar flera nya resultat i den här avhandlingen. Vissa av våra resultat håller för alla olika ändliga grupper G, även för ickeabelska grupper, vilka är väldigt svåra att analysera med Fourier-analytiska metoder.fi
dc.format.extent30 + app. 131
dc.format.mimetypeapplication/pdfen
dc.identifier.isbn978-952-60-5914-3 (electronic)
dc.identifier.isbn978-952-60-5913-6 (printed)
dc.identifier.issn1799-4942 (electronic)
dc.identifier.issn1799-4934 (printed)
dc.identifier.issn1799-4934 (ISSN-L)
dc.identifier.urihttps://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/14427
dc.identifier.urnURN:ISBN:978-952-60-5914-3
dc.language.isoenen
dc.opnSanyal, Raman, Prof., Freie Universität Berlin, Germany
dc.publisherAalto Universityen
dc.publisherAalto-yliopistofi
dc.relation.haspart[Publication 1]: Erik Sjöland. Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of cyclic groups. arxiv:1408.1058, 15 Pages, 2014.
dc.relation.haspart[Publication 2]: Erik Sjöland. Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of any finite group. arxiv:1408.1088, 16 Pages, 2014.
dc.relation.haspart[Publication 3]: Erik Sjöland. Enumeration of three term arithmetic progressions in fixed density sets. arxiv:1408.1063, 62 Pages, 2014.
dc.relation.haspart[Publication 4]: Erik Sjöland. Using real algebraic geometry to solve combinatorial problems with symmetries. arxiv:1408.1065, 29 Pages, 2014.
dc.relation.ispartofseriesAalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONSen
dc.relation.ispartofseries162/2014
dc.revSchweighofer, Markus, Prof., Universität Konstanz, Germany
dc.revVinzant, Cynthia, Prof., University of Michigan, USA
dc.subject.keywordreal algebraic geometryen
dc.subject.keywordadditive number theoryen
dc.subject.keywordarithmetic progressionsen
dc.subject.keywordsemidefinite programmingen
dc.subject.keywordreell algebraisk geometrisv
dc.subject.keywordadditiv talteorisv
dc.subject.keywordaritmetiska talföljdersv
dc.subject.keywordsemidefinit optimeringsv
dc.subject.otherMathematicsen
dc.titleReal Algebraic Geometry in Additive Number Theoryen
dc.titleReell algebraisk geometri i additiv talteorisv
dc.typeG5 Artikkeliväitöskirjafi
dc.type.dcmitypetexten
dc.type.ontasotDoctoral dissertation (article-based)en
dc.type.ontasotVäitöskirja (artikkeli)fi
local.aalto.digiauthask
local.aalto.digifolderAalto_64341
Files
Original bundle
Now showing 1 - 5 of 5
No Thumbnail Available
Name:
isbn9789526059143.pdf
Size:
212.22 KB
Format:
Adobe Portable Document Format
No Thumbnail Available
Name:
article1.pdf
Size:
360.65 KB
Format:
Adobe Portable Document Format
Description:
submitted/preprint version
No Thumbnail Available
Name:
article2.pdf
Size:
360.05 KB
Format:
Adobe Portable Document Format
Description:
submitted/preprint version
No Thumbnail Available
Name:
article3.pdf
Size:
849.68 KB
Format:
Adobe Portable Document Format
Description:
submitted/preprint version
No Thumbnail Available
Name:
article4.pdf
Size:
430.94 KB
Format:
Adobe Portable Document Format
Description:
submitted/preprint version