Structure preserving Krylov integrators for Hamiltonian systems
No Thumbnail Available
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Master's thesis
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Instructions for the author
Author
Date
2010
Department
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
en
Pages
vi + 70
Series
Abstract
The topic of the thesis is the numerical time integration of Hamiltonian PDEs. The time integration of the PDEs is done by applying different time integration methods on Hamiltonian ODEs, which are obtained as a result of a semidiscretization of PDEs. Specifically nonlinear hyperbolic equations which give rise to highly oscillatory ODEs are considered. When considering the methods two points will be emphasized. First is the successful resolving of the high frequencies, and the second is the preservation of the structure. For the first issue the so called exponential integrators are applied, and to approximate the matrix functions Krylov subspace methods are used. To enhance the convergence of the Krylov approximations, so called rational Krylov methods are considered. For the issue of the structure preservation, the Krylov subspace methods are performed in a way that a symplectic basis is produced. For the resulting reduced systems we numerically experiment also some higher order structure preserving Runge-Kutta methods. The thesis concludes with several numerical experiments with the methods discussed.Työssä tarkastellaan eri aikaintegroijien soveltamista Hamiltonin differentiaaliyhtälöihin, jotka saadaan paikkadiskretoimalla Hamiltonin osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Erityisesti tarkastellaan integrointia epälineaarisille hyperbolisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille, joita diskretoimalla saadaan nopeasti oskilloivia tavallisia differentiaaliyhtälöitä. Tarkasteltavilta menetelmiltä vaaditaan kahta ominaisuutta. Ensimmäinen on ratkaisuissa aktiivisena olevien korkeataajuisten moodien tarkka ratkaiseminen, ja toinen on yhtälöiden struktuurin säilyttäminen. Ensimmäinen ominaisuus yritetään saavuttaa käyttämällä niin sanottuja eksponentiaalisia integroijia. Näiden laskemiseen käytetään Krylov-aliavaruus-menetelmiä. Approksimaatioiden tehostamiseksi työssä sovelletaan myös niin sanottuja rationaali-Krylov-menetelmiä. Struktuurin säilyttämiseksi Krylov-aliavaruus menetelmiä sovelletaan siten, että iteraatiossa muodostetaan symplektinen kanta. Tämän seurauksena saataviin redusoituihin systeemeihin sovelletaan myös korkeampiasteisia struktuurin säilyttäviä Runge-Kutta menetelmiä. Lopuksi menetelmien vertailemiseksi suoritetaan useita numeerisia testejä.Description
Supervisor
Eirola, TimoKeywords
Hamiltonian systems, Hamiltonin systeemit, numerical time integration, numeerinen aikaintegrointi, Krylov subspace, Krylov-aliavaruus, highly oscillatory systems, nopeasti oskilloivat systeemit
