aalto1 untyped-item.component.html
European options and local times
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Major/Subject
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
en
Pages
63 + [9]
Series
Abstract
Modern mathematical finance is based on the methods of stochastic analysis and usually models apply martingale theory and stochastic integration theory. 111LSpecially, the well-known Black and Scholes model is based on Ito integrals and geometric Brownian motion.
This study establishes the connection between Black and Scholes model and local time of geometric Brownian motion. First we introduce the Black and Scholes model and derive the basic properties of the market model. Another objective is to find a new integral representation for local time of geometric Brownian motion through the Black and Scholes model. We also study some applications.
The results of the study are promising. Besides the new integral representation for local time, we derive two ways to compute the expectation of the local time of geometric Brownian motion. We applicate the integral representation to Black and Scholes differential equation and study the local time of exponential martingale. We also derive a formula for the price of European options which are determined by the difference of two convex functions. As an application of this, we show that in order to hedge a convex European option, the capital needed increases as the maturity of an option increases.
Moderni rahoitusteoria perustuu stokastisen analyysin menetelmiin ja usein mallit soveltavat martingaaliteoriaa ja stokastista integraaliteoriaa. Erityisesti Black-Scholes malli perustuu Itó-integraaleihin ja geometriseen Brownin liikkeeseen.
Tässä työssä tutkitaan Black-Scholes mallin ja geometrisen Brownin liikkeen lokaalin ajan välistä yhteyttä. Ensin työssä esitellään Black-Scholes malli ja todistetaan markkinamalliin liittyvät perustulokset. Seuraavaksi työssä etsitään uusi integraaliesitys geometrisen Brownin liikkeen lokaalille ajalle Black-Scholes mallin avulla. Työssä käsitellään myös sovelluksia.
Työn tulokset ovat lupaavia. Uuden integraaliesityksen lisäksi työssä esitellään kaksi eri tapaa laskea geometrisen Brownin liikkeen lokaalin ajan odotusarvo. Integraaliesitystä sovelletaan Black-Scholes differentiaaliyhtälöön ja eksponentiaalisen martingaalin lokaaliin aikaan. Työssä myös johdetaan hinta Eurooppalaisille optioille, jotka määräytyvät kahden konveksin funktion erotuksena. Tämän sovelluksena työssä näytetään että mitä suurempi konveksin Eurooppalaisen option maturiteetti on, sitä enemmän pääomaa vaaditaan siltä suojautumiseen.