The Leibniz Integral Rule

Thumbnail Image

Files

Isokoski_Frida_2025.pdf (346.59 KB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025-09-04

Department

Major/Subject

Quantum Technology

Mcode

SCI3103

Degree programme

Aalto Bachelor’s Programme in Science and Technology

Language

en

Pages

20+2

Series

Abstract

The Leibniz integral rule provides sufficient conditions for the property of interchanging the order of derivation and integration. It is a powerful mathematical tool and can be applied in the evaluation of difficult integral expressions as well as in derivation of mathematical and physical formulae. However, the Leibniz integral rule and its applications are not well-known nor often taught in calculus courses in Finland. Thus, the aim of this thesis is to introduce the Leibniz integral rule and demonstrate its applications in various situations in the fields of mathematics and physics. For this purpose, the Leibniz integral rule is first derived, and sufficient conditions for its utilisation in Riemann integration are introduced. Furthermore, a few examples are provided of its applications in mathematics, such as the derivation of Euler's integral formula. Subsequently, the utilisation of the Leibniz integral rule in derivation of the Schrödinger equation is studied and mathematically analysed. To establish a proper physical understanding of that situation, some quantum mechanical concepts, such as Feynman's path integral formulation, are introduced.

Leibnizin integraalisääntö sanelee pätevät ehdot derivoinnin ja integroinnin järjestyksen vaihtamiseen. Se on tehokas matemaattinen työkalu, jota voidaan soveltaa haastavien integraalien laskemiseen sekä kaavojen johtamiseen matematiikassa ja fysiikassa. Leibnizin integraalisääntö ja sen sovellukset eivät kuitenkaan ole kovin tunnettuja Suomessa. Niitä ei välttämättä edes mainita differentiaalilaskennan kursseilla. Siksi tämän kandidaatintyön tavoitteena on esitellä Leibnizin integraalisääntö ja havainnollistaa sen sovelluksia eri tilanteissa matematiikassa ja fysiikassa. Ensin Leibnizin integraalisääntö esitellään ja johdetaan, minkä jälkeen annetaan pätevät ehdot sen soveltamiseen Riemann-integroinnissa. Lisäksi Leibnizin integraalisäännön matemaattisista sovelluksista annetaan muutama esimerkki kuten Eulerin kertomaintegraalikaavan johtaminen. Myöhemmin analysoidaan myös, kuinka Leibnizin integraalisääntöä hyödynnetään Schrödingerin yhtälön johtamisessa. Analyysin ymmärrettävyyden takaamiseksi avataan muutamia kvanttimekaanisia käsitteitä kuten Feynmanin polkuintegraalia.

Description

Supervisor

Raasakka, Matti

Thesis advisor

Rogovin, Sari

Keywords

differentiation under the integral sign, Feynman’s integration technique, Feynman’s integration trick, the Leibniz integral rule

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202510218387

Collections

[kand] Perustieteiden korkeakoulu / SCI