Homotopy and homology of topological spaces: their functoriality and relations between them

Abstract

Topology can be seen as a study of many generalizations. Since virtually any set of elements together with a defined topology can be considered to be a topological space, it would be natural for there to be many ways to generalize these spaces, i.e., unify them into groups of similarities. Perhaps the most useful criteria for such grouping would be homotopy equivalence, the notion that spaces that can be continuously and reversibly deformed into each other are equivalent. Its importance can be seen in many properties that are homotopy invariant, which means that these properties yield the same result for spaces that are homotopy equivalent.

The homotopy groups and homology groups of a topological space are concepts that form the cornerstones of algebraic topology, and as it happens to be, they are also homotopy invariant properties. Hence, most calculations in analyzing the nature of a topological space $X$ begin with obtaining the homotopy and homology groups, which associates the space with a property that can be used to compare it to other toplogical spaces.

Calculating these groups from their very definitions is generally straightforward for simpler spaces. However, for more complicated spaces, it is in most cases way more efficient to instead use certain derived tools and constructions to simplify the calculations.

The thesis will begin with definitions of the $n$-th homotopy group $\pi_n(X)$ and homology group $\hm{n}(X)$ for a topological space $X$, and then move on to establishing a clear categorical relation between the groups $\pi_1(X)$ and $\hm{1}(X)$. Their homotopy invariance will be proven and this property will be utilized to find the homotopy and homology groups of a “sideways eight" graph in $\rr^2$, with the help of the Seifert--Van Kampen theorem for fundamental groups and the Mayer--Vietoris exact sequence for homology groups. The resulting fundamental group and first homology group for the graph are obtained through an elaborate process, with the aims of demonstrating the usefulness of the concepts involved.

Topologia on matemaattinen ilmiö, jolla voi kuvailla monia asioita. Konseptina topologinen avaruus on varsin laaja, ja melkein millä vaan joukolla voi muodostaa topologisen avaruuden. Tämän takia on todella hyödyllistä, ja monissa tapauksissa keskeistä, että näitä avaruuksia voi lajitella omiin luokkiinsa tiettyjen käsitteiden avulla. Näistä käsitteistä kenties tärkeimmät algebraalisessa topologiassa ovat homotopia- ja homologiaryhmät. Monissa tapauksissa avaaruuden $X$ analyysin ensimmäiset vaiheet ovat $n$:nen homotopiaryhmän $\pi_n(X)$ ja homologiaryhmän $\hm{n}(X)$ laskeminen. Nämä ryhmät sattuvat myös olemaan homotopiainvariantteja, mikä korostaa niiden hyödyllisyyttä laskelmissa.

Homotopiainvarianssi perustuu homotopiaekvivalenssiin, millä voi kuvastaa topologisia avaruuksia, joita voi jatkuvasti ja palautuvasti muuttaa toisiinsa. Tarkemmin sanottuna näiden homotopiaekvivalenttien avaruuksien homotopiainvariantit ominaisuudet ovat samoja, eli isomorfisia algebraalisessa kontekstissa.

Kuitenkin homotopia- ja homologiaryhmien laskeminen on harvoin yksinkertaista ja monissa tapauksissa vaatii muita algebraalisia ja topologisia työkaluja, kuten Seifert-Van Kampen lausetta ja Mayer-Vietoris-eksaktijonoa.

Tässä tutkielmassa käsitellään ensin ryhmien $\pi_n(X)$ ja $\hm{n}(X)$ määritelmät, minkä jälkeen jatketaan niiden välisen suhteen analysointiin tapauksessa $n=1$ kategoriateorian näkökulmasta. Esimerkiksi $\tp, \ab, \grp$ ja $\pi_1, \hm{1}, \abmp$ ovat kategorioita ja funktoreita, jotka liittyvät läheisesti homotopia- ja homologiaryhmien määritelmiin. Nämä kategoriateorian (ja myös muut alkeelliset algebran ja topologian) käsitteet määritellään ennen homotopia- ja homologiaryhmiä.

Tämän jälkeen huomio kohdistetaan $\rr^2$ -tason kaheksikon muotoisen osajoukon ensimmäisen homotopia- ja homologiaryhmän laskemiseen. Prosessissa käytetään yllä mainittuja algebraalisia ja topologisia työkaluja. Tämän menetelmän ja myös tutkielman päätarkoituksena on osoittaa homotopiainvarianssin hyödyllisyyden. Kaheksikon homotopia- ja homologiaryhmän laskemisen tuloksena saadaan $\ang{a,b\vert\emptyset}$ ja $\zz\oplus\zz$.