Classification of Steiner Quadruple Systems

Abstract

Työn tavoitteena on luokitella 16 pisteen Steinerin nelikkosysteemit. Kyseessä on jo jonkin aikaa avoimena olleen laskennallisen ongelman ratkaiseminen.

Työn alussa tarkastellaan Steinerin systeemeitä teoreettiselta kannalta, kuitenkin luokitteluun liittyviin tuloksiin keskittyen. Nelikkosysteemien olemassaoloa ja lukumäärää tutkitaan, kuten myös niiden yhteyttä Steinerin kolmikkosysteemeihin ja tiettyihin koodeihin. Myös Pasch-konfiguraatioita ja niiden hyödyntämistä isomorfiatarkasteluissa tarkastellaan.

McKayn kehittämä luokittelumenetelmä, kanonisilla lisäyksillä tuottaminen, esitellään varsin yleisellä tasolla. Menetelmää soveltamalla kehitetään luokittelualgoritmi Steinerin nelikkosysteemeille. Lisäksi esitetään Kasken ja Östergårdin kehittämä samankaltainen algoritmi Steinerin kolmikkosysteemeille. Myös vaihtoehtoinen, Zinovievin ja Zinovievin kehittämä luokittelumenetelmä esitellään lyhyesti.

Nelikkosysteemejä tuotettaessa ja isomorfiakarsintaa suoritettaessa kohdataan kaksi vaikeaa osaongelmaa: täsmällisten peitteiden etsiminen tietyille joukoille ja systeemeiden kanonisen nimeämisen laskeminen. Näitä ongelmia ja niiden vaativuutta tarkastellaan.

Vaikka käytettävän algoritmin oikeellisuus on todistettu matemaattisella tarkkuudella, voi ohjelmointivirhe johtaa virheellisiin tuloksiin. Tällaisten mahdollisten virheiden havaitsemiseksi testattiin laskennan tulosten johdonmukaisuutta.

Luokittelun tuloksena saatiin yksi edustaja jokaisesta 16 pisteen Steinerin nelikkosysteemien isomorfialuokasta. Isomorfialuokkia on yhteensä 1,054,163 kappaletta. Luokkien edustajia tutkimalla saatiin selville joitain uusia tuloksia, kuten resolvoitumattoman 16 pisteen Steinerin nelikkosysteemin olemassaolo.