Collocation method for solving stochastic elasticity problems with an uncertain domain

Loading...
Thumbnail Image
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
Date
2015-02-24
Department
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
F3006
Degree programme
Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma
Language
en
Pages
58
Series
Abstract
In this thesis, we formulate a method for determining how quantities such as stress in an elastic body change depending on its shape. This stochastic elasticity problem has important applications in structural analysis and design, such as determining how manufacturing flaws affect the properties of an object. We assume that the shape of the object depends on some stochastic parameters, and use a combination of multivariate interpolation and conformal mappings to solve the problem. The interpolation allows us to reduce the stochastic problem to a collection of deterministic elasticity problems, which are solved by using existing finite element analysis software, and the conformal mappings are used to accommodate the varying shape of the object. A sparse grid interpolation scheme is used to diminish the curse of dimensionality related to multivariate interpolation. We define model problems involving two stochastic parameters, for both 2D and 3D objects. The implementation of the method is described in detail, and numerical results are provided for the model problems. With as few as 29 deterministic problems, we reach the point where the interpolation accuracy cannot be improved due to the inherent inaccuracy of the finite element solutions.

Tässä diplomityössä esittelemme menetelmän, jolla voidaan määrittää kuinka jännityksen tai jonkin muun suureen arvo muuttuu elastisessa kappaleessa kun sen muoto vaihtelee. Tällä stokastisella elastisuustehtävällä on tärkeitä sovelluksia rakenteiden analyysissä ja suunnittelussa; sitä käyttäen voidaan esimerkiksi määrittää valmistusvirheiden vaikutus kappaleen ominaisuuksiin. Oletamme kappaleen muodon riippuvan joistakin stokastisista parametreista, ja käytämme usean muuttujan interpolointia sekä konformikuvauksia tehtävän ratkaisemiseksi. Interpoloinnin avulla stokastinen ongelma voidaan muuntaa kokoelmaksi deterministisiä tehtäviä, jotka ratkaistaan käyttäen elementtimenetelmää; konformikuvauksien avulla käsitellään stokastisuuden aiheuttama kappaleen muodon vaihtelu. Usean muuttujan interpolointiin liittyvän dimensionaalisuuden kirouksen lievittämiseksi käytämme Smolyakin konstruktioon perustuvaa harvan hilan interpolointimenetelmää. Mallitehtävinä käytämme kahdesta stokastisesta parametrista riippuvia kappaleita, tarkastellen sekä kaksi- että kolmiulotteista tapausta. Kuvailemme menetelmän toteutuksen yksityiskohtaisesti, ja esittelemme mallitehtävien numeeriset tulokset. Menetelmä saavuttaa jo 29 deterministisen tehtävän avulla pisteen, jonka jälkeen interpolaation tarkkuutta ei enää voida parantaa elementtimenetelmälle luontaisesta epätarkkuudesta johtuen.
Description
Supervisor
Hyvönen, Nuutti
Thesis advisor
Hakula, Harri
Keywords
elasticity problem, stochastic domain, stochastic collocation, Smolyak construction, sparse grid interpolation, conformal mapping
Other note
Citation