Diagonal Preconditioning and the Stability of Resonance Enhancement Systems

Thumbnail Image

Files

Schulman_Isak_2025.pdf (890.6 KB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025-03-07

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

en

Pages

36

Series

Abstract

The condition number of a function describes the stability of the function. If the condition number is small, then the function is stable and is called well-conditioned. The condition number of an invertible matrix A is the condition number of the function f(x) = Ax. Minimizing the condition number of matrices is important in many of the fields and relative applications that use linear algebra. This is especially important for solving linear systems. Diagonal preconditioning is a simple way to lower the condition number of a matrix. This is performed by multiplying the matrix on both sides by a diagonal matrix. The minimization of the condition number of an invertible complex matrix through diagonal preconditioning is directly linked to the stability of non-regenerative reverberation enhancement systems, which is necessary to sustain controlled feedback between microphones and loudspeakers, thus enhancing the reverberation in a room. This thesis presents a symbolic solution for the optimal diagonal preconditioners in the A belongs to C2×2 case, and five algorithmic approaches to find diagonal preconditioners for invertible complex matrices in bigger dimensions. These include the Engel-Schneider method, the Sinkhorn-Knopp algorithm, two heuristics using the QR and polar decompositions, and an interior point method solving a system of linear matrix inequalities. The thesis investigates how well these algorithms perform on invertible complex matrices with respect to dimensions and time. In the experiments, all algorithms find satisfactory diagonal preconditioners, except for the heuristics by QR and polar decomposition. We find that the interior point method achieves the best preconditioners, but it is also the most expensive in terms of computational cost. Furthermore, the results show that a heuristic version of the Engel-Schneider method produces good diagonal preconditioners in a relatively short time. However, the experiments show that there is no superior method to achieve stability in reverberation enhancement systems, as the best algorithm can only be determined by taking in consideration the requirements in time and accuracy of the specific application.

En funktions konditionstal beskriver funktionens stabilitet. Ifall konditionstalet är litet är funktionen stabil och kallas välkonditionerad. Konditionstalet av en inverterbar matris A är konditionstalet av funktionen f(x) = Ax. Minimering av matrisers konditionstal är väsentlig i flera områden och tillämpningar som utnyttjar linjär algebra. Detta är i synnerhet viktigt för att lösa linjära system. Ett enkelt sätt att minska en matris konditionstal är med hjälp av diagonal prekonditionering. I denna metod multiplicerar man matrisen på båda sidorna med en diagonalmatris. Att minimera en inverterbar komplex matris konditionstal via diagonal prekonditionering har ett direkt samband med regenerativa ekoförstärkningssystems stabilitet. Stabiliteten är nödvändig för att upprätthålla kontrollerad rundgång mellan mikrofoner och högtalare, vilket följaktligen förstärker rummets eko. Denna avhandling framför en symbolisk lösning för de optimala diagonala prekonditioneringsmatriserna då A tillhör C2×2, och fem algoritmiska metoder för att hitta diagonala prekonditioneringsmatriser för inverterbara komplexa matriser i högre dimensioner. Här behandlas bland annat Engel-Schneidermetoden och Sinkhorn-Knoppalgoritmen, två heuristiker som använder QR- och polärfaktorisering samt en inrepunktsmetod som löser ett linjärt system av matrisolikheter. Avhandlingen undersöker hur väl dessa algoritmer fungerar på inverterbara komplexa matriser med avseende på dimensioner och tid. I experimenten lyckades alla algoritmer hitta nöjaktiga diagonala prekonditioneringsmatriser, förutom heuristikerna som använder QR- och polärfaktorisering. Det upptäcktes att inrepunktsmetoden åstadkommer de bästa prekonditioneringsmatriserna, men den är också beräkningsmässigt mest krävande. Resultaten visar dessutom att en heuristisk version av Engel-Schneidermetoden producerar goda prekonditioneringsmatriser på en kort tid. Utgående från resultaten kan man emellertid inte välja en överlägsen metod för att uppnå stabilitet i ekoförstärkningssystem. Detta beror på att den bästa algoritmen endast kan avgöras då man beaktar tids- och noggrannhetskraven för den specifika tillämpningen där algoritmen ska användas.

Description

Supervisor

Noferini, Vanni

Thesis advisor

Barbarino, Giovanni

Keywords

condition number, diagonal preconditioning, optimization, acoustics, reverberation enhancement system

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202503112734

Collections

[kand] Perustieteiden korkeakoulu / SCI