BMO-funktioiden karakterisaatioita
No Thumbnail Available
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Helsinki University of Technology |
Diplomityö
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Instructions for the author
Authors
Date
2004
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
fi
Pages
55
Series
Abstract
In this Master's Thesis we consider functions of Bounded Mean Oscillation in metric measure spaces. We concentrate on two characterisation theorems when the underlying measure is doubling. The John-Nirenberg lemma and the Coifman-Rochberg theorem are our main interests. We intend to show that the essential features of the presented BMO-theory are independent of the linear structure of Rn. We proceed mainly by using maximal functions with Vitali -type covering theorems. This work does not contain new results. It is often straightforward to generalize the familiar results in Rn to a metric space. However the main results are an exception. In the proof of the John-Nirenberg lemma we follow the presentation of Mateau, Mattila, Nicolau and Orobitg [14]. We prove the Coifman-Rochberg theorem by generalizing the work of Garcia-Cuerva and Rubio de Francia [6]. Our approach to the reverse Holder inequality is also different from the metric space tradition. We present an improved Calderon-Sigmund theorem for balls and generalise the proof in Rn presented by Coifman and Fefferman [2]. The thesis is loosely based on Javier Duoandikoetxea's Fourier Analysis [4], Elias M. Stein's Harmonic Analysis [18] and Juha Heinonen's Lectures on Analysis on Metric Spaces [8] as well as recent articles of BMO. The reader is assumed to be familiar with the basic concepts of metric spaces and also of measure and integral theory.Tässä työssä tarkastelemme keskimääräiseltä heilunnaltaan rajoitettuja eli Bounded Mean Oscillation -funktioita metrisissä mitta-avaruuksissa. Keskitymme erityisesti BMO-funktioiden karakterisaatiolauseisiin käytettävän mitan ollessa tuplaava. Työn päätulokset ovat John-Nirenbergin lemma ja Coifman-Rochbergin lause. Keskeisenä ideana on osoittaa analyysin perusteemojen olevan riippumattomia avaruuden Rn lineaarisesta rakenteesta. Usein tämä tehdään hyödyntämällä vektoriavaruuden ominaisuuksien sijaan maksimaalifunktiotekniikoita ja Vitali-tyyppisiä peitelauseita. Kaikki tulokset ovat n-ulotteisten reaaliavaruuksien tapauksessa tunnettuja ja suurelta osin yleistys metriseen avaruuteen on vaivatonta. Päätulosten osalta tilanne on monimutkaisempi. John-Nirenbergin lemman todistus on Mateaun, Mattilan, Nicolaun ja Orobitgin mukainen [14]. Coifman-Rochbergin lauseen todistamme yleistämällä Garcia-Cuervan ja Rubio de Francian version metriseen avaruuteen [6]. Esitämme myös käänteiselle Holderin epäyhtälölle metrisen avaruuden perinteestä poikkeavan todistuksen yleistämällä Coifmanin ja Feffermanin Rn-todistuksen [2]. Tätä varten todistamme Calderón-Zygmundin hajotelmasta parannetun version palloille. Pääasiallisina lähteinä on käytetty reaaliavaruuksien analyysia käsitteleviä teoksia kuten Javier Duoandikoetxean Fourier Analysis [4] ja Elias M. Steinin Harmonic Analysis [18] sekä useita BMO-funktioita käsitteleviä ajankohtaisia artikkeleita. Metrisen avaruuden analyysiin on haettu ajatuksia Juha Heinosen kirjasta Lectures on Analysis on Metric Spaces [8]. Oletamme lukijalta perustiedot metrisistä avaruuksista sekä mitta- ja integrointiteoriasta.Description
Supervisor
Nevanlinna, OlaviThesis advisor
Kinnunen, JuhaKeywords
BMO, BMO, metric space, metrinen avaruus, doubling measure, tuplaava mitta, John-Nirenberg lemma, John-Nirenbergin lemma, Coifman-Rochberg theorem, Coifman-Rochbergin lause, Muckenhoupt weigths, Muckenhouptin painot, reverse Hölder inequality, käänteinen Hölderin epäyhtälö