Cyclic sieving in rational q,t-Catalan combinatorics

No Thumbnail Available

Files

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2024-04-26

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

en

Pages

18

Series

Abstract

Catalan numbers, which count many combinatorial objects, can be generalized by deforming them to rational functions depending on one or more complex variables. The resulting q-analogs are interesting, since their specializations at roots of unity tell us about the combinatorial properties of cyclic group actions on sets of objects counted by the Catalan numbers. This exhibited effect is called the cyclic sieving phenomenon. The two-variable q,t-Catalan numbers can be defined using statistics from com- binatorial objects. One such set of combinatorial objects is the Dyck paths. They are lattice paths going from (0,0) to (n, n) without going below the diagonal x = y. If we make these paths to go to (n, m) instead, with gcd(n, m)=1, we get rational Dyck paths that define the rational q,t-Catalan numbers. This thesis looks at the cyclic sieving phenomenon from the rational q,t-Catalan numbers’ viewpoint, with deliberation on possible generalizations for cyclic sieving. This is done by calculating various q,t-Catalan numbers and their evaluations mechanically. The results show novel values around the known q-Catalan numbers. The meaning for these is nontrivial. Some of the results seem to follow some rule, others are more sporadic and harder to draw conclusions from. In conclusion, we find many unexplained values that should be studied along with their combinatorial relations.

Erinäisiä kombinatorisia objekteja laskevista Catalanin luvuista voidaan tehdä yleistyksiä lisäämällä niihin kompleksisia muuttujia. Näin määritetyt q-Catalan-luvut ovat kiinnostavia, sillä niiden evaluoinnit ykkösenjuurilla pystyvät kuvaamaan syklisen ryhmän toimintaa joukossa, jonka objekteja vastaavat Catalan luvut laskevat. Kyseistä ilmiötä kutsutaan Cyclic sieving -ilmiöksi. Kahden muuttujan q,t-Catalan-luvut määritellään kombinatoristen objektien avulla. Eräs tällainen kombinatoristen objektien joukko on nimeltään Dyck-polut. Dyck-polut kulkevat pisteestä (0,0) pisteeseen (n, n) koostuen n määrästä pohjoi- saskelia (N) ja n määrästä itäaskelia (E) ylittämättä koskaan diagonaalia x = y. Jos nämä polut laitetaan kulkemaan pisteeseen (n, m), kun gcd(n, m)=1, puhutaan rationaalisista Dyck-poluista ja vastaavasti rationaalisista q,t-Catalan-luvuista. Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella cyclic sieving -ilmiötä rationaalisten q,t-Catalan-lukujen yhteydessä, sekä pohtia yleistyksen mahdollisuutta ilmiölle. Tämä tehdään laskemalla erilaisia q,t-Catalan-lukuja ja niiden evaluaatioita koneellisesti. Tulokset näyttävät, että tunnettujen q-Catalan-lukujen ympäriltä löytyy arvoja, joiden merkitykset ovat epätriviaaleja. Jotkut saaduista arvoista vaikuttavat säännönmukaisilta, kun taas toiset ovat enemmän yksittäisiä ja niistä on vaikeampi vetää johtopäätöksiä. Tuloksista löytyy siis paljon nykyisen tiedon valossa selittämättömiä arvoja, joiden merkitystä ja yhteyksiä kombinatoriikkaan tulisi tutkia lisää.

Description

Supervisor

Kivinen, Oscar

Thesis advisor

Kivinen, Oscar

Keywords

rational q,t-Catalan numbers, cyclic sieving, root of unity, combinatorics

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202404303259

Collections

[kand] Perustieteiden korkeakoulu / SCI