Numerical quadrature for approximating weighted inner products between harmonic basis functions
No Thumbnail Available
Files
Ollila_Maximiliam_2024.pdf (1.48 MB) (opens in new window)
Aalto login required (access for Aalto Staff only).
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
2024-11-20
Department
Major/Subject
Matematiikka ja systeemitieteet
Mcode
SCI3029
Degree programme
Teknistieteellinen kandidaattiohjelma
Language
en
Pages
30
Series
Abstract
Partial differential equations can be numerically solved using the finite element method that discretizes the domain and projects a hierarchical basis accordingly. In this thesis the hierarchical basis is constructed for two different harmonic extension finite elements. Both elements are shaped as a rectangle with a difference that an additional node is introduced to one. For the standard element a linear basis is constructed by defining bilinear vertex functions to each vertex using a product of two perpendicular Lagrange interpolation polynomials thus forming a partition of unity for the basis. The linear basis is then extended with harmonic extensions to integrated Legendre polynomials to cover a non-linear polynomial space on the boundary. Lastly to complete the basis, inner functions are computed by solving the Poisson problem with Legendre polynomial product as a source term to complete the finite element space. The basis is constructed for the element with an additional node using the same principle as with the standard element, but with slightly different method. The linear basis cannot be constructed directly using the product of one-dimensional Lagrange polynomials thus harmonic extensions for linear functions are used. The vertex functions are formed by a sum of two solutions to Dirichlet problems with adjacent non-homogeneous boundaries. The harmonic extensions are formed similarly to the regular element with a difference that the boundary condition has to be modified by introducing some linear transformation for the variable. Since the additional node affects only on boundary, the same inner functions can be used as with the regular element. By computing inner products between the introduced basis functions, the extra node used to define the functions causes non-smoothness leading the standard Gaussian quadrature to become unreliable. In this thesis an alternative construction for the quadrature is proposed to reach a desired accuracy in a computationally efficient manner by dividing the domain into parts and mapping multivariate Gaussian quadratures accordingly. Inputs for the algorithm are then optimized by finding permutations to produce some specific number of points and optimizing the ratios for dividing the domain using bisection method. The results are then analyzed to determine errors and how the quadrature points divide in the domain.Osittaisdifferentiaaliyhtälöt voidaan ratkaista numeerisesti elementtimenetelmällä, jossa ongelma diskretisoidaan ja projisoidaan käyttämällä hierarkkista kantaa. Tutkielmassa kanta rakennetaan kahdelle eri elementtimenetelmässä hyödynnettävälle elementille. Kumpikin elementti on muodoltaan neliö, sillä erotuksella, että jälkimmäinen sisältää yhden lisätyn reunapisteen. Standardielementille luotu lineaarinen kanta koostuu kaksien kohtisuorien Lagrange-interpolaatiopolynomien välisten tulojen muodostamista bilineaarisista kulmafunktioista johtaen näin ykkösen ositukseen. Lineaarinen kanta laajennetaan kattamaan epälineaarinen polynomiavaruus elementin reunalla lisäämällä harmoniset jatkeet integroiduille Legendre-polynomeille. Jotta kanta olisi täydellinen polynomiavaruuden suhteen, Poisson-ongelma ratkaistaan käyttäen kohtisuorien Legendre-polynomien tuloa lähdefunktiona muodostaen näin sisäfunktiot hierarkkiselle kannalle. Viiden pisteen elementille hierarkkinen kanta rakennetaan samalla periaatteella muuttaen hieman käytettyjä menetelmiä. Lineaarista kantaa ei pysty tässä tapauksessa muodostamaan kertomalla Lagrange-polynomeja, joten harmoniset jatkeet lasketaan lineaarisille reunafunktioille. Kulmafunktiot luodaan summaamalla kaksi ratkaisua Dirichlet-ongelmalle, joissa epähomogeeniset reunaehdot sijoittuvat viereisille sivuille. Harmoniset jatkeet epälineaarisille funktioille voidaan muodostaa muuttaen reunaehtoja ja käyttämällä muuten samaa metodia kuin luodessa kantaa standardielementille. Reunapiste vaikuttaa vain kulma- sekä reunafunktioiden luomiseen, joten standardielementin sisäfunktioita voidaan käyttää täydentämään kannan täydelliseksi polynomiavaruuden suhteen. Tavallinen kaksiulotteinen Gaussin kvadratuuri ei pysty tarkasti approksimoimaan kantafunktioiden välistä sisätuloa viiden pisteen elementille, sillä lisätty reunapiste aiheuttaa derivaatan epäjatkuvuuden. Tutkielmassa esitetään vaihtoehtoinen rakenne tavoitteena saavuttaa riittävä tarkkuus mahdollisimman tehokkaasti, missä rakenne luodaan jakamalla integroitava alue osiin ja laskemalla kaksiulotteinen Gaussin kvadratuuri jokaiselle alueelle. Algoritmissa käytettävät parametrit optimoidaan laskemalla permutaatiot, jotka sijoittavat halutun määrän pisteitä. Permutaatiot rajoittavat optimointiongelman yhteen ulottuvuuteen, jolloin alueen jakamissuhde voidaan ratkaista käyttämällä puolitusmenetelmää jokaiselle permutaatiolle. Tulokset analysoidaan, jotta menetelmän tarkkuus saadaan todennettua sekä kvadratuuripisteiden optimaalinen jakautuminen selvitettyä eri sisätuloissa.Description
Supervisor
Hakula, HarriThesis advisor
Hakula, HarriKeywords
hp-FEM, hierarchical basis, non-conforming mesh, Gaussian quadrature, bisection method