Solving the contact problem with the finite element method

Abstract

Työn lähtökohtana on kontaktiongelman esitys reuna-arvotehtävänä. Variaatioepäyhtälöt näytetään ekvivalentiksi esitykseksi kontaktiongelmalle ja variaatioesitykselle näytetään ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys Lionsin ja Stampacchian lauseen avulla.

Kontaktiongelman numeerista ratkaisua haetaan elementtimenetelmällä. Variaatioesitys ei suoraan sovellu elementtimenetelmän lähtökohdaksi, joten reuna-arvotehtävälle johdetaan variaatioesitys sakkomenetelmällä ja Nitschen menetelmällä. Molemmat menetelmät osoitetaan elliptisiksi sopivilla oletuksilla, mutta konsistenssi saadaan vain Nitschen menetelmälle.

Nitschen menetelmälle ja sakkomenetelmälle johdetaan sekä a priori että a posteriori virhearviot. Sakkomenetelmän sakkoparametrille johdetaan ehto joka antaa parhaan a priori virhearvion kun ratkaisun sileys tunnetaan. Nitschen menetelmän a posteriori virhearvion johdossa käytetään artikkelissa [5] esitettyä saturaatio-oletusta, jonka avulla virhearvion johdossa voidaan luopua Clement'n interpolanteista koska interpolantteja tarvitaan vain diskreettien ratkaisujen välille.

Menetelmien ominaisuuksia ja virhearvioiden tarkkuutta testataan numeerisilla esimerkeillä. A priori virhearviota tutkitaan laskemalla tarkkaa virhettä verkkoparametrin funktiona ja a posteriori virhearviota testataan tihentämällä verkkoa adaptiivisesti virhearvion perusteella. Lisäksi numeerisilla esimerkeillä tarkastellaan sakkoparametrin vaikutusta sakkomenetelmän ratkaisuun.

Osa elementtimenetelmän ydintuloksista kerrataan lyhyesti, mutta lukijan odotetaan tuntevan jatkuvan elementtimenetelmän ja variaatiolaskennan perusteet. Lisäksi funktionaalianalyysin perusteiden tunteminen on avuksi.