aalto1 untyped-item.component.html
L2 Convergence of the p- Finite Element Method for the 2D Poisson Problem with a Dirac Delta Load
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
SCI3053
Degree programme
Language
en
Pages
88
Series
Abstract
In this thesis, we study the convergence properties of the p-version of the finite element method when it is applied to the two-dimensional Poisson problem with a Dirac delta load term and with Dirichlet or Neumann boundary conditions. Based on identical existing results for the h-version of the finite element method, we prove that the approximations from the p-version converge to the exact solution in L2 when the domain satisfies certain convexity assumptions, which does not seem to be covered by the existing literature. Before proving this result, we provide detailed descriptions of the solvability of the Dirac delta problem and of the p- finite element method along with the needed approximation theorems to prove the main convergence result. Finally, we consider the accuracy of the obtained error bound through various numerical experiments, and we conclude that the predicted convergence rate of the error can be fairly close to the actual observed rate when the Dirac delta load is located either on a side or in the interior of an element of the mesh. When the load is located at a vertex of the mesh, the predicted rate of convergence is overly pessimistic, however.
Tässä diplomityössä tarkastellaan elementtimenetelmän p-version suppenemista kaksiulotteisen Poissonin yhtälön tapauksessa, kun yhtälön kuormana on Diracin deltafunktio ja määrittelyjoukon reunoille on asetettu Dirichlet'n tai Neumannin reunaehdot. Elementtimenetelmän h-version tiedetään suppenevan ongelman tarkkaan ratkaisuun L2:ssa, kun ongelman määrittelyjoukko toteuttaa tietyt konveksisuusehdot. Tämä tulos laajennetaan tässä työssä p-versiolle, mitä ei ilmeisesti ole tarkasteltu aiemmin. Ensin kuitenkin tarkastellaan ongelman tarkan ratkaisun olemassaoloa ja sen yksikäsitteisyyttä. L2-suppenemistulos seuraa pitkälti p-versiolle ominaisten approksimaatiotulosten pohjalta, jotka käydään myös perusteellisesti läpi. Saatua virhe-estimaattia verrataan tietokoneella numeerisesti laskettuihin virheisiin. Numeeristen tulosten pohjalta voidaan päätellä, että virheen ennustettu suppenemisnopeus on kohtalaisen lähellä todellista suppenemisnopeutta, kun deltakuorma on elementin reunalla tai elementin sisällä. Kun deltakuorma on elementin solmussa, todellinen suppenemisnopeus on kuitenkin huomattavasti suurempi kuin ennustettu nopeus.