# Harnackin epäyhtälö

No Thumbnail Available
School of Science | Master's thesis
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
2012
Matematiikka
Mat-1
fi
[4] + 42
##### Abstract
In the theory of partial differential equations there are only few simple equations that can be given an explicit formula for solutions. In general equations are studied by proving certain existence and regularity results. Smoothness and boundedness are examples of regularity results for solutions. Harnack's inequality is a result which states that the essential supremum and infimum of a solution are comparable. This means that an upper bound for the essential supremum can be obtained from the infimum by multiplying it by a constant. This constant may only depend on the geometry of the sets considered and on the structure of the equation. The proof of Harnack's inequality is based on Caccioppoli-type estimates and Moser's iteration. This iteration leads to separate estimates for both supremum and infimum of solutions. These estimates can be combined to give the Harnack's inequality by means of using parabolic John-Nirenberg lemma or a measure theoretical Bombieri's lemma. Bombieri's lemma is considerably less technical than the parabolic version of John-Nirenberg lemma. In this thesis a proof is given for Harnack's inequality for a certain type of parabolic partial differential equations. A similar result was previously proven in an article by N. Trudinger in 1968. Trudinger's proof is simplified by replacing the parabolic John-Nirenberg lemma with Bombieri's lemma. Calculations are also carried out in more detail.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa vain harvoille sopivan yksinkertaisille yhtälöille voidaan johtaa varsinainen ratkaisukaava. Yleisesti yhtälöitä voidaan tarkastella erilaisten olemassaolo- sekä säännöllisyystulosten avulla. Säännöllisyystuloksia ovat esimerkiksi ratkaisuiden sileys sekä rajoittuneisuus. Harnackin epäyhtälö on tulos, joka kertoo, että yhtälön ratkaisuiden oleelliset supremum sekä infimum ovat verrannollisia keskenään vakiolla, joka riippuu vain tarkasteltavan joukon geometriasta sekä yhtälön rakenteesta. Harnackin epäyhtälön johto perustuu Caccioppoli-tyyppisiin estimaatteihin sekä Moserin iteraatioon. Tämän iteraation avulla ratkaisuille saadaan erikseen arviot sekä supremumille että infimumille. Näiden arvioiden yhdistämiseen Harnackin epäyhtälöksi voidaan käyttää joko parabolista John-Nirenbergin lemmaa tai mittateoreettista Bombierin abstraktia lemmaa. Koska Bombierin lemma on vain mittateoreettinen tulos, se ei ole yhtä tekninen kuin parabolisen BMO:n avulla johdettu John-Nirenbergin lemma. Tässä työssä on johdettu Harnackin epäyhtälö tietyntyyppisille parabolisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille. Samanlainen tulos esiintyi alun perin N. Trudingerin artikkelissa vuonna 1968. Trudingerin käyttämä parabolinen John-Nirenbergin lemma on kuitenkin korvattu Bombierin lemmalla, mikä yksinkertaistaa todistusta. Käytettyjen argumenttien yksityiskohdat on myös laskettu selkeämmin auki.
Kinnunen, Juha
##### Keywords
parabolic, parabolinen, nonlinear, epälineaarinen, partial, osittaisdifferentiaaliyhtälö, differential, säännöllisyys, equation, Moser-iteraatio, regularity, Moser-iteration
##### Permanent link to this item
https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-2020122858942