On Numerical Solution of Multiparametric Eigenvalue Problems

Loading...
Thumbnail Image

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

School of Science | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2018-08-10

Date

Major/Subject

Mcode

Degree programme

Language

en

Pages

47 + app. 109

Series

Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS, 126/2018

Abstract

In this thesis, numerical methods for solving multiparametric eigenvalue problems, i.e., eigenvalue problems of operators that depend on a countable number of parameters, are considered. Such problems arise, for instance, in engineering applications, where a single deterministic problem may depend on a number of design parameters, or through parametrization of random inputs in physical systems with data uncertainty.  The focus in this work is on approaches based on the stochastic Galerkin finite element method. In particular, we suggest a novel and efficient algorithm, the spectral inverse iteration, for computing approximate eigenpairs in the case of simple eigenvalues. This algorithm is also extended to a spectral subspace iteration, which allows computation of approximate invariant subspaces associated to eigenvalues of higher multiplicity.  A step-by-step analysis is presented on the asymptotic convergence of the spectral inverse iteration and the results of this analysis are verified by a series of detailed numerical experiments. Convergence of the spectral subspace iteration is also illustrated in the numerical experiments, specifically for problems with eigenvalue crossings within the parameter space. Sparse stochastic collocation algorithms are used as reference when validating the output of the two algorithms.  As an application of our algorithms we consider solving mechanical vibration problems with uncertain inputs. A hybrid method is suggested for computing eigenmodes of structures with randomness in both geometry and the elastic modulus. Furthermore, two different strategies are presented for computing the eigenmodes for a shell of revolution: one based on dimension reduction and separation of the eigenmodes by wavenumber, and another based on applying the algorithm of spectral subspace iteration directly to the original problem.

Väitöskirjassa tarkastellaan numeerisia menetelmiä moniparametristen ominaisarvotehtävien eli ominaisarvotehtävien, jotka riippuvat numeroituvasta määrästä parametreja, ratkaisemiseksi. Tämänkaltaisia tehtäviä ilmenee esimerkiksi insinöörisovelluksissa, joissa yksittäinen deterministinen tehtävä saattaa riippua useista malliparametreista, tai epävarmuutta sisältävissä fysikaalisissa systeemeissä, joissa satunnaisuus on parametrisoitavissa.  Työn keskiössä ovat tekniikat, jotka perustuvat stokastiseen Galerkinin elementtimenetelmään. Erityisesti esitellään uusi ja tehokas algoritmi, spektraalikäänteisiteraatio, approksimaatioiden laskemiseksi ominaispareille yksinkertaisten ominaisarvojen tapauksessa. Tämä algoritmi myös laajennetaan spektraalialiavaruusiteraatioksi, jolla saadaan laskettua approksimaatioita korkeamman kertaluvun ominaisarvoihin liittyville aliavaruuksille.  Väitöskirjassa esitetään askel askeleelta analyysi spektraalikäänteisiteraation suppenemisesta, ja tämän analyysin tulokset vahvistetaan sarjassa yksityiskohtaisia numeerisia kokeita. Myös spektraalialiavaruusiteraation suppenemista havainnollistetaan, erityisesti tehtävissä, joissa ominaisarvot risteävät parametriavaruuden sisällä. Harvoja stokastisia kollokaatiomenetelmiä käytetään vertailukohtana näiden kahden algoritmin antamia tuloksia arvioitaessa.  Algoritmien sovelluskohteena käsitellään epävarmuutta sisältävien mekaanisten värähtelytehtävien ratkaisemista. Eräänlainen hybridimenetelmä kehitetään ominaismuotojen ratkaisemiseksi sellaisille rakenteille, joissa satunnaisuutta esiintyy sekä geometriassa että elastisuuskertoimissa. Lisäksi esitellään kaksi eri strategiaa pyörähdyskuoren ominaismuotojen ratkaisemiseksi: ensimmäisessä tehtävä palautetaan yksiulotteiseksi ja eri ominaismuodot erotellaan toisistaan aaltoluvun perusteella, toisessa spektraalialiavaruusiteraatiota käytetään suoraan alkuperäisen tehtävän ominaismuotojen laskemiseen.

Description

Supervising professor

Hyvönen, Nuutti, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland

Thesis advisor

Hakula, Harri, Dr., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland

Other note

Parts

  • [Publication 1]: H. Hakula, V. Kaarnioja and M. Laaksonen. Approximate methods for stochastic eigenvalue problems. Applied Mathematics and Computation, Volume 267, pages 664 - 681, September 2015.
    DOI: 10.1016/j.amc.2014.12.112 View at publisher
  • [Publication 2]: H. Hakula and M. Laaksonen. Hybrid stochastic finite element method for mechanical vibration problems. Shock and Vibration, Volume 2015, Article ID 812069, 13 pages, June 2015.
    DOI: 10.1155/2015/812069 View at publisher
  • [Publication 3]: H. Hakula and M. Laaksonen. Asymptotic convergence of spectral inverse iterations for stochastic eigenvalue problems. Submitted to a journal, 28 pages, arXiv:1706.03558, June 2017.
  • [Publication 4]: H. Hakula and M. Laaksonen. Multiparametric shell eigenvalue problems. Submitted to a journal, 37 pages, arXiv:1803.03854, March 2018.

Citation