aalto1 untyped-item.component.html
Lebesguen lause euklidisen avaruuden differentioiville kannoille
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Helsinki University of Technology |
Master's thesis
Electronic archive copy is available via Aalto Thesis Database.
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Instructions for the author
Location:
Authors
Date
Major/Subject
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
en
Pages
50
Series
Abstract
Tässä työssä perehdytään Lebesguen lauseeseen euklidisen avaruuden differentioiville kannoille. Työssä selvitetään, milloin funktion integraalikeskiarvot annetun joukkoperheen joukkojen yli suppenevat joukkojen läpimittojen pienetessä kohti funktion arvoja melkein kaikissa euklidisen avaruuden pisteissä kaikilla integroituvilla funktioilla.
Klassinen Lebesguen lause vastaa keskitettyjen pallojen kantaa. Tulos osoitettiin jo 1910, mutta tyhjentävää vastausta siitä, millä joukoilla tulos on voimassa, ei ole kyetty esittämään. Työssä tarkastellaan ensin Busemannin ja Fellerin maksimaalifunktiokarakterisaatiota, jonka rinnalle tuodaan toinen perustuen tasaisen rajoittuneisuuden periaatteeseen. Sitten tutustaan Posselin peiteominaisuuksilla esitettävään karakterisaatioon. Tuloksen osoittamiseksi joudutaan myös todistamaan Radonin ja Nikodymin lauseen vastine differentioiville kannoille. Kolmantena näkökulmana on karakterisaatio pallojen avulla. Tätä laajennetaan myös toiseen kannan geometriaan liittyvään ehtoon, johon ei kuitenkaan tarvita palloja. Lopuksi esittelen joitakin differentioivia kantoja ja niiden differentiointiominaisuuksia.
Työssä esiteltävät tulokset todistetaan lukuun ottamatta Bairen lausetta täydellisille metrisille avaruuksille. Tulokset ovat osittain uusia. Miguel de Guzmán esittelee maksimaalifunktiolle äärellisyysehdon, jossa tutkitaan äärellismittaista euklidisen avaruuden osajoukkoa. Työssä osoitetaan tulos koko euklidisessa avaruudessa. Maksimaalifunktiokarakterisaatioissa tehtävät oletukset ovat myös aiempaa heikommat: tuloksessa ei tarvitse olettaa differentioivan kannan toteuttavan Busemannin ja Fellerin ehtoa. Radonin ja Nikodymin lausetta ei ole aiemmin tiettävästi osoitettu differentioiville kannoille. Geometrisia karakterisaatioita esiteltäessä annetaan uusi ekvivalentti karakterisaatio, jossa ei viitata palloihin, toisin kuin aiemmissa karakterisaatioissa