Construction of few-angular spherical codes and line systems in Euclidean spaces

Thumbnail Image

Files

isbn9789526427508.pdf (406.3 KB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

School of Electrical Engineering | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2025-10-03
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025

Department

Informaatio- ja tietoliikennetekniikan laitos
Department of Information and Communications Engineering

Major/Subject

Mcode

Degree programme

Language

en

Pages

51 + app. 95

Series

Aalto University publication series Doctoral Theses, 190/2025

Abstract

Spherical codes are finite non-empty sets of unit vectors in d-dimensional Euclidean spaces. Projective codes, also known as line systems, are finite nonempty sets of points in corresponding projective spaces. A spherical code or a line system is called few-angular if the number of distinct angular distances between vectors or lines of the code is small. The fundamental problem is to find a code with minimum angular separation between the vectors or lines as large as possible. In this dissertation few-angular spherical codes and line systems are constructed via different algebraic and combinatorial methods. The most important algebraic method is automorphism prescription (in different forms) while combinatorial methods include exhaustive isomorph-free generation of Gram matrices of spherical codes and weighted clique search in graphs with vertices representing orbits of vectors. We classify the largest systems of real biangular lines in d≤6 and construct two infinite families of biangular line systems which achieve equality in the second Levenshtein bound from irreducible representations of finite groups SL(2,q). We also construct several low-dimensional spherical codes with prescribed automorphisms and large minimum angular distances between the vectors and obtain new lower bounds for kissing numbers in dimensions 10,11 and 14.

Pallokoodit ovat äärellisiä epätyhjiä yksikkövektoreista koostuvia joukkoja d-ulotteisissa euklidisissa avaruuksissa. Projektiiviset koodit (joita kutsutaan myös suorajärjestelmiksi) ovat vastaavasti äärellisiä epätyhjiä 1-ulotteisista aliavaruuksista (suorista) koostuvia joukkoja. Koodia sanotaan vähäkulmaiseksi jos koodin vektoreiden tai suorien välisten kulmaetäisyyksien joukko on pieni. Perusongelma on löytää sellaiset koodit, joiden pienin vektoreiden tai suorien välinen kulma on mahdollisimman suuri. Tässä väitöskirjassa vähäkulmaiset pallokoodit sekä projektiiviset koodit konstruoidaan käyttäen hyväksi erilaisia algebrallisia sekä kombinatorisia menetelmiä. Tärkein algebrallisista menetelmistä on etsittävien koodien symmetrioiden kiinnittäminen. Käytetyt kombinatoriset menetelmät sisältävät Gram-matriisien kattavan haun sekä klikkihaun painotetuissa graafeissa, joissa solmut edustavat vektoreiden ratoja. Käyttäen tässä työssä kehitettyjä menetelmiä luokittelemme dimensioissa d≤6 suurimmat suorajärjestelmät, joissa suorien väliset kulmat voivat saada vain kaksi arvoa. Tämän lisäksi työssä myös konstruoidaan symmetrioita kiinnittämällä kaksi ääretöntä suorajärjestelmien perhettä, joiden koot saavuttavat Levensteinin ylärajat annetuille suorien välisille minimikulmaetäisyyksille sekä monia pallokoodeja, joiden vektoreiden väliset minimikulmaetäisyydet ovat isoja. Kolme kostruoiduista pallokoodeista parantavat aiemmin tunnettuja alarajoja pallojen kosketusluvuille dimensiossa 10,11 ja 14.

Description

Supervising professor

Östergård, Patric, Prof., Aalto University, Department of Information and Communications Engineering, Finland

Keywords

automorphism group, euclidean space, kissing number, line system, spherical code, automorfismiryhmä, euklidinen avaruus, pallokoodi, suorajärjestelmä, suuteluluku

Other note

Parts

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-64-2750-8

Collections

[diss] Sähkötekniikan korkeakoulu / ELEC