aalto1 untyped-item.component.html
Determinism and probability
Loading...
Files
Aalto login required (access for Aalto Staff only).
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
Language
en
Pages
33
Series
Abstract
Probability is an important concept used in many different fields. Despite this, there are multiple interpretations of what probability means. According to classical logic, a proposition is either true or false, and its truth value is constant. This means that true propositions have always been true, and if a proposition is not true, it will always be false. If these presuppositions are accepted, it is natural to affirm the theory that reality is as it is, and could not have been otherwise. This is called determinism, a theory which implies that even phenomena that are often considered random, such as nuclear decay, are in fact predetermined down to the smallest detail. Determinism is a theory that impacts how probability is understood, since probability is often closely tied to randomness. The aim of this thesis is to present an interpretation of probability that is consistent with determinism. A good interpretation should follow some mathematical axiomatization of probability. After Kolmogorov laid out his axiomatization it has been common to use it. Countable additivity is often used as an axiom of probability, but the advantage of choosing finite additivity as an axiom instead is that this makes it possible to assign a uniform probability distribution over a countably infinite sample space, which is not possible with countable additivity. There are multiple interpretations of probability in the literature. Some of them are consistent with Kolmogorov’s axiomatization, and some are based on some other axiomatization. In addition to being consistent with a mathematical axiomatization, a good interpretation of probability should also align with how people generally use the term “probability”. The problem with many interpretations is that there are examples which demonstrate that they do not align with how the term “probability” is used. After assessing the validity of different interpretations of probability, their problems and strengths as well as how consistent they are with determinism, it is suggested in this thesis that probability should be understood as the objective degree of warrant for believing a proposition. This interpretation follows Kolmogorov’s axiomatization with the axiom of finite additivity, and it is consistent with both determinism and how the term “probability” is used. If a stochastic variable is used multiple times with the same probability distribution to map to a number, then the value you have the most warrant to believe to be the mean value converges toward the expected value. This is the interpretation of expected value according to the interpretation of probability presented in this thesis. This interpretation of probability is very similar to a so-called evidential interpretation, where probability is understood as the degree to which the given evidence supports a hypothesis. Depending on how the language of the evidential interpretation is understood, these two interpretations might be different ways of speaking about the same interpretation.
Sannolikhet är ett viktigt koncept som används i många olika områden. Trots det finns det flera olika tolkningar av vad sannolikhet verkligen betyder. Enligt klassisk logik är ett påstående antingen sant eller falskt, och dess sanningsvärde är konstant. Detta betyder att sanna påståenden alltid har varit sanna, och om ett påstående inte är sant kommer det alltid att vara falskt. Ifall man accepterar dessa grundantaganden är det naturligt att acceptera teorin att verkligheten är som den är, och inte kunde ha varit annorlunda. Detta kallas för determinism, en teori som innebär att även fenomen som ofta anses slumpmässiga, såsom kärnsönderfall, i själva verket är förutbestämda ner till minsta detalj. Determinism är en teori som påverkar hur man förstår konceptet sannolikhet, eftersom sannolikhet ofta förstås ha en koppling till slumpen. Syftet i detta arbete är att presentera en sannolikhetstolkning som passar ihop med determinism. En god sannolikhetstolkning bör överensstämma med en matematisk axiomatisering för sannolikhet. Efter att Kolmogorov formulerade sin axiomatisering har det varit vanligt att använda den, och ofta används uppräknelig additivitet som ett av sannolikhetens axiom. Fördelen med att istället använda ändlig additivitet som axiom är att det möjliggör att ha en jämn sannolikhetsfördelning över ett uppräkneligt oändligt utfallsrum, vilket inte är möjligt med uppräknelig additivitet. Det finns flera sannolikhetstolkningar i litteraturen. En del av dem stämmer överens med Kolmogorovs axiomatisering, vissa bygger på någon annan axiomatisering. Utöver att stämma överens med en matematisk axiomatisering bör en god sannolikhetstolkning överensstämma med hur människor i allmänhet använder begreppet sannolikhet. Problemet med flera sannolihetstolkningar är att det finns exempel som demonstrerar att de inte överensstämmer med hur begreppet sannolikhet används. Efter att ha värderat olika tolkningars giltighet, deras problem och styrkor samt hur bra de passar ihop med determinism, föreslås det i arbetet att sannolikhet ska förstås som den objektiva graden av berättigande att tro på ett påstående. Denna tolkning följer Kolmogorovs axiomatisering med ändlig additivitet som axiom, och den passar ihop med både determinism och hur begreppet sannolikhet brukar användas. Om man låter en stokastisk variabel anta ett värde med en viss sannolikhetsfördelning och upprepar detta, då konvergerar värdet man är mest berättigad att tro bli medelvärdet mot väntevärdet. Detta är tolkningen av väntevärde enligt den föreslagna sannolikhetstolkningen. Denna sannolikhetstolkning liknar mycket en så kallad evidentiell tolkning där sannolikhet uppfattas som graden av stöd som beviset ger en hypotes. Beroende på hur evidentiella tolkningens begrepp uppfattas är det möjligt att dessa två tolkningar är olika sätt att tala om samma sannolikhetstolkning.