Pintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avulla

dc.contributorAalto-yliopistofi
dc.contributorAalto Universityen
dc.contributor.advisorPeltonen, Kirsi
dc.contributor.authorLiimatainen, Tony
dc.contributor.departmentMatematiikan ja systeemianalyysin laitosfi
dc.contributor.supervisorLassas, Matti
dc.date.accessioned2012-03-06T13:28:40Z
dc.date.available2012-03-06T13:28:40Z
dc.date.issued2008
dc.description.abstractMoniston Riemannin metriikan kehittäminen Riccin virtauksella on osoittautunut tehokkaaksi työkaluksi direntiaaligeometrian tutkimuksessa. Riccin virtaus on metriikan evoluutioyhtälö, jolla on epälineaarisuudesta huolimatta lämpöyhtälömäisiä ominaisuuksia. Vuonna 2003 Riccin virtauksen avulla todistettiin Poincarén konjektuuri. Työssä tutkimme Riccin virtausta pinnoilla ja samalla tutustumme Poincarén konjektuurinkin todistuksessa käytettyihin menetelmiin. Tutkimme miten metriikka kehittyy pinnalla Riccin virtauksessa. Selvitämme millä oletuksilla ja miten kauan Riccin virtauksen ratkaisu on olemassa. Tutkimme miten pinnan kaarevuus käyttäytyy virtauksen aikana ja millaiseen metriikkaan virtauksen ratkaisu pinnalla suppenee asymptoottisesti. Työssä johdamme tunnettuihin Riccin virtauksen tuloksiin nojaten virtauksen ratkaisun olemassaoloteorian, joka on voimassa riippumatta moniston ulottuvuudesta. Sen jälkeen sovellamme sitä saadaksemme tarvitsemamme olemassaoloteorian pinnoille. Pinnoilla kaarevuus yksinkertaistuu ja Gauss-Bonnetin teoreema kytkee pinnan kaarevuuden sen topologiaan. Näitä huomioita käyttäen johdamme pinnan Riccin virtaukselle yksinkertaisemman muodon. Pinnan Riccin virtauksen analysointiin käytämme osittaisdirentiaaliyhtälöiden teorian menetelmiä, joita ensin yleistämme monistoille. Osoitamme, että pinnalla Riccin virtauksella on aina yksikäsitteinen ratkaisu koko aikavälillä [0,Inf) mille tahansa alkuhetken CInf-metriikalle. Asymptoottisesti virtauksen ratkaisu pinnalla suppenee vakiokaarevuuden metriikkaan, minkä osoitamme erikoistapauksessa, jossa pinnan Eulerin karakteristika on negatiivinen. Erityisesti negatiivisen Eulerin karakteristikan pinta hyperbolisoituu. Pinnalla ratkaisu on konforminen alkuhetken metriikan kanssa, ja siten jokainen Riemannin metriikka pinnalla on konforminen vakiokaarevuuden metriikan kanssa. Riccin virtaus vaikuttaa hyödylliseltä työkalulta, kun tutkitaan lokaalien suureiden kuten kaarevuuden kytkeytymistä topologiaan. Riccin virtauksen vahvuus on sen kaarevuutta tasoittavassa luonteessa ja siinä, että sen ratkaisu on olemassa minimaalisilla ehdoilla. Riccin virtauksen työkaluja käyttäen voi lähestyä direntiaaligeometrian ongelmia myös korkeammissa ulottuvuuksissa osittaisdirentiaaliyhtälöiden teorian avulla.fi
dc.format.extent47
dc.format.mimetypeapplication/pdf
dc.identifier.urihttps://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/3034
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:aalto-201203071265
dc.language.isofien
dc.programme.majorMatematiikkafi
dc.programme.mcodeMat-1
dc.publisherTeknillinen korkeakoulufi
dc.publisherHelsinki University of Technologyen
dc.rights.accesslevelopenAccess
dc.subject.keywordRiccin virtausfi
dc.subject.keywordhyperbolinen pintafi
dc.subject.keywordevoluutioyhtälöfi
dc.subject.keywordvakiokaarevuuden metriikkafi
dc.subject.keywordPoincaren konjektuurifi
dc.subject.keywordratkaisun olemassaolofi
dc.subject.keywordratkaisun suppeneminenfi
dc.subject.keywordvakiokaarevuuden pintafi
dc.subject.keywordEulerin karakteristikafi
dc.subject.keywordRicci flowen
dc.subject.keywordhyperbolic surfaceen
dc.subject.keywordevolution equationen
dc.subject.keywordmetric of constant curvatureen
dc.subject.keywordPoincare conjectureen
dc.subject.keywordexistence of solutionen
dc.subject.keywordsurface of constant curvatureen
dc.subject.keywordEuler characteristicen
dc.titlePintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avullafi
dc.titleHyperbolishing surfaces with the Ricci flowen
dc.typeG2 Pro gradu, diplomityöfi
dc.type.dcmitypetexten
dc.type.okmG2 Pro gradu, diplomityö
dc.type.ontasotDiplomityöfi
dc.type.ontasotMaster's thesisen
dc.type.publicationmasterThesis
local.aalto.digifolderAalto_39560
local.aalto.idinssi36786
local.aalto.openaccessyes
Files
Original bundle
Now showing 1 - 1 of 1
No Thumbnail Available
Name:
urn100086.pdf
Size:
331.54 KB
Format:
Adobe Portable Document Format