Pintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avulla

No Thumbnail Available
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Master's thesis
Date
2008
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
fi
Pages
47
Series
Abstract
Moniston Riemannin metriikan kehittäminen Riccin virtauksella on osoittautunut tehokkaaksi työkaluksi direntiaaligeometrian tutkimuksessa. Riccin virtaus on metriikan evoluutioyhtälö, jolla on epälineaarisuudesta huolimatta lämpöyhtälömäisiä ominaisuuksia. Vuonna 2003 Riccin virtauksen avulla todistettiin Poincarén konjektuuri. Työssä tutkimme Riccin virtausta pinnoilla ja samalla tutustumme Poincarén konjektuurinkin todistuksessa käytettyihin menetelmiin. Tutkimme miten metriikka kehittyy pinnalla Riccin virtauksessa. Selvitämme millä oletuksilla ja miten kauan Riccin virtauksen ratkaisu on olemassa. Tutkimme miten pinnan kaarevuus käyttäytyy virtauksen aikana ja millaiseen metriikkaan virtauksen ratkaisu pinnalla suppenee asymptoottisesti. Työssä johdamme tunnettuihin Riccin virtauksen tuloksiin nojaten virtauksen ratkaisun olemassaoloteorian, joka on voimassa riippumatta moniston ulottuvuudesta. Sen jälkeen sovellamme sitä saadaksemme tarvitsemamme olemassaoloteorian pinnoille. Pinnoilla kaarevuus yksinkertaistuu ja Gauss-Bonnetin teoreema kytkee pinnan kaarevuuden sen topologiaan. Näitä huomioita käyttäen johdamme pinnan Riccin virtaukselle yksinkertaisemman muodon. Pinnan Riccin virtauksen analysointiin käytämme osittaisdirentiaaliyhtälöiden teorian menetelmiä, joita ensin yleistämme monistoille. Osoitamme, että pinnalla Riccin virtauksella on aina yksikäsitteinen ratkaisu koko aikavälillä [0,Inf) mille tahansa alkuhetken CInf-metriikalle. Asymptoottisesti virtauksen ratkaisu pinnalla suppenee vakiokaarevuuden metriikkaan, minkä osoitamme erikoistapauksessa, jossa pinnan Eulerin karakteristika on negatiivinen. Erityisesti negatiivisen Eulerin karakteristikan pinta hyperbolisoituu. Pinnalla ratkaisu on konforminen alkuhetken metriikan kanssa, ja siten jokainen Riemannin metriikka pinnalla on konforminen vakiokaarevuuden metriikan kanssa. Riccin virtaus vaikuttaa hyödylliseltä työkalulta, kun tutkitaan lokaalien suureiden kuten kaarevuuden kytkeytymistä topologiaan. Riccin virtauksen vahvuus on sen kaarevuutta tasoittavassa luonteessa ja siinä, että sen ratkaisu on olemassa minimaalisilla ehdoilla. Riccin virtauksen työkaluja käyttäen voi lähestyä direntiaaligeometrian ongelmia myös korkeammissa ulottuvuuksissa osittaisdirentiaaliyhtälöiden teorian avulla.
Description
Supervisor
Lassas, Matti
Thesis advisor
Peltonen, Kirsi
Keywords
Riccin virtaus, hyperbolinen pinta, evoluutioyhtälö, vakiokaarevuuden metriikka, Poincaren konjektuuri, ratkaisun olemassaolo, ratkaisun suppeneminen, vakiokaarevuuden pinta, Eulerin karakteristika, Ricci flow, hyperbolic surface, evolution equation, metric of constant curvature, Poincare conjecture, existence of solution, surface of constant curvature, Euler characteristic
Other note
Citation