Modelling the Joint Distribution of Risk Factors in Financial Markets

Abstract

The underlying entities, such as interest rates or foreign currency exchange rates, of financial derivatives are called risk factors. They represent the financial risk involved in the prices of the derivatives. The exposure to financial risk is in general estimated statistically from the distribution of profits and losses of the derivatives. This distribution is determined by the distribution of risk factor changes which is therefore required in the estimation of risk.

The realistic modelling of the joint distribution of risk factor changes is one of the central problems in quantitative finance. The difficulty of modelling the distribution is a result of the characteristics of the risk factor time series. For example, distributions of risk factor time series tend to be heavy-tailed, leptokurtic and possibly skewed.

In this thesis, the joint, static distribution of multiple risk factors is modelled using parametric and non-parametric approaches. The parametric model consists of a Student's t copula coupled with generalized t marginals selected by analyzing the data. The non-parametric models are represented by two neural networks called restricted Boltzmann machine (RBM) and variational autoencoder (VAE). The models are compared in terms of their modelling accuracy and computational efficacy. The modelling accuracy is assessed using metrics for both joint dependencies and marginal properties.

The results indicate the suitability of the t copula and the VAE for modelling the joint distribution of multiple risk factors with several variables. The accuracy of the models slightly deteriorates as the size of the problem increases but remains tolerable. However, problems related to model fitting in the t copula and the VAE start to emerge along the growth of the number of variables. The RBM is unsuccessful in modelling the distribution with over a hundred variables suffering also from instability during the training and lack of computational efficiency. Possible targets for development are presented in conclusions for further research.

Johdannaisten kohde-etuuksia, kuten korkoja ja valuuttakursseja, kutsutaan riskifaktoreiksi. Ne kuvaavat johdannaisten hintaan sisältyvää taloudellista riskiä. Taloudellisen riskin määrä estimoidaan yleensä tilastollisesti johdannaisten tulosjakaumasta. Tulosjakauma määräytyy riskifaktoreiden muutosten jakaumasta, joka siten tarvitaan taloudellisen riskin estimoimiseksi.

Riskifaktoreiden muutosten yhteisjakauman realistinen mallintaminen on yksi finanssimatematiikan keskeisimmistä ongelmista. Jakauman mallintamisen vaikeus johtuu riskifaktoreiden aikasarjojen ominaispiirteistä. Näiden aikasarjojen jakaumat ovat yleensä esimerkiksi paksuhäntäisiä, huipukkaita ja mahdollisesti vinoja.

Tässä työssä monien riskifaktoreiden staattista yhteisjakaumaa mallinnetaan käyttäen parametrisiä ja ei-parametrisiä menetelmiä. Parametrinen malli muodostuu Studentin t kopulasta ja yleistä t jakaumaa noudattavista marginaaleista, jotka on valittu analysoimalla dataa. Ei-parametrisiä malleja edustavat kaksi neuroverkkoa, rajoitettu Boltzmannin kone (RBM) ja variaatioautoenkoodaaja (VAE). Malleja vertaillaan niiden tulosten tarkkuuden ja laskennallisen tehokkuuden perusteella. Mallien tulosten tarkkuutta arvioidaan sekä yhteisriippuvuuksille että marginaalien ominaisuuksille soveltuvilla metriikoilla.

Tulosten perusteella t kopula ja VAE soveltuvat monien riskifaktoreiden yhteisjakauman mallintamiseen useilla muuttujilla. Ongelman kasvaessa mallien tuottamien tulosten tarkkuus hieman heikkenee säilyen kuitenkin kohtuullisena. Lisäksi mallien sovituksessa alkaa ilmaantua ongelmia. RBM ei vaikuta soveltuvan yhteisjakauman mallintamiseen yli sadalla muuttujalla. Mallin toimintaa heikentävät kouluttamisen epästabiilius ja laskennallisen tehon puute. Mallien mahdollisia kehityskohteita on esitetty johtopäätöksissä lisätutkimusta varten.