The Nakayama argument (Nakayama's lemma)

Abstract

A module is an algebraic structure similar to a vector space except the scalars need not be invertible and their multiplication need not be commutative. Modules are used extensively in commutative and noncommutative algebra. In the field of commutative algebra, there is a result commonly known as Nakayama's lemma, which states that for any finitely generated module over a commutative ring, there exists a certain nontrivial element of the ring that scales every element of the module to zero. The proof strategy of Nakayama's lemma can be generalized into a result that we call the Nakayama argument. We use the Nakayama argument to prove Nakayama's lemma along with a famous result in linear algebra known as the Cayley--Hamilton theorem, which states that a matrix satisfies its own characteristic equation. We also introduce the notion of the Jacobson radical as the intersection of all maximal left-ideals of a ring and prove some elementary properties assuming Krull's theorem, which we prove as a consequence of Zorn's lemma. We show that linear combinations of the elements of a module with coefficients from the Jacobson radical of the ring of scalars are never sufficient to express every element of a nonzero finitely generated module, a result known as the Jacobson--Azumaya theorem. We remark that this result is sometimes referred to as the noncommutative analog of Nakayama's lemma, since Nakayama's lemma easily implies the result of the Jacobson--Azumaya theorem for finitely generated modules over a commutative ring, even without the need to assume Zorn's lemma.

Moduli on algebrallinen rakenne, joka muistuttaa vektoriavaruutta, mutta skalaarijoukon alkioiden ei tarvitse olla kertolaskun suhteen kääntyviä eikä kertolaskun tarvitse olla vaihdannainen. Moduleja tutkitaan laajasti kommutatiivisessa ja ei-kommutatiivisessa algebrassa. Kommutatiivisen algebran alalla tunnetaan tulos Nakayaman lemma, joka sanoo, että jokaisella äärellisesti viretyllä modulilla yli kommutatiivisen renkaan on olemassa epätriviaali skalaarirenkaan alkio, joka skaalaa jokaisen alkion ryhmän nolla-alkioksi. Nakayaman lemman todistustekniikka voidaan yleistää tulokseksi, jota kutsumme Nakayaman argumentiksi. Käytämme Nakayaman argumenttia todistamaan Nakayaman lemman sekä tunnetun lineaarialgebran tuloksen nimeltään Cayley--Hamilton -teoreeman, joka sanoo, että matriisi toteuttaa oman karakteristisen yhtälönsä. Esittelemme myös Jacobsonin radikaalin leikkauksena kaikista renkaan maksimaalisista vasemmanpuolisista ideaaleista ja todistamme sen alkeellisia ominaisuuksia Krullin teoreemaan nojaten, jonka taas vuorostaan todistamme Zornin lemman seurauksena. Näytämme, että lineaarikombinaatiot modulin alkioista, joiden kertoimet tulevat Jacobsonin radikaalista, eivät riitä esittämään jokaista nollasta poikkeavan äärellisesti viritetyn modulin alkiota, mikä on tulos, joka tunnetaan nimellä Jacobson--Azumaya teoreema. Huomautamme, että tähän tulokseen viitataan välillä Nakayaman lemman ei-kommutatiivisena versiona, sillä Jacobson--Azumaya teoreema seuraa suoraviivaisesti Nakayaman lemmasta äärellisesti viritetyn kommutatiivisen modulin tapauksessa, jopa ilman Zornin lemmaa.