Nonlocal nonlinear potential theory and fractional integral operators

Thumbnail Image

Files

isbn9789526070780.pdf (395.96 KB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

School of Science | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2016-11-18
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2016

Department

Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Department of Mathematics and Systems Analysis

Major/Subject

Mcode

Degree programme

Language

en

Pages

56 + app. 149

Series

Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS, 214/2016

Abstract

This thesis develops Potential Theory for nonlinear fractional Laplace type equations. These equations are nonlocal integro-differential equations defined as singular integrals. We study weak solutions and weak supersolutions of the equations, demonstrating that they behave as in the case of standard elliptic partial differential equations. We also define a related notion of superharmonic functions via a comparison with weak solutions. The superharmonic functions are used to give a nonlocal version of Perron's method for solving Dirichlet problems with general boundary data.  To obtain all the required properties of superharmonic functions, we use a related obstacle problem as a tool. For this, several regularity results for the solution to the obstacle problem are proved. In addition, we study a notion of viscosity solutions to the considered equations. The results reveal that the classes of viscosity supersolutions and superharmonic functions are the same, and for bounded solutions, they coincide with the class of weak supersolutions.  The thesis also studies the regularity of maximal functions by extending the regularity results of a fractional maximal operator to its local counterpart. Finally, we consider finitely randomized dyadic systems on metric measure spaces and apply them to functions of bounded mean oscillation.

Väitöskirjassa kehitetään potentiaaliteoriaa epälineaarisille fraktionaalisen Laplacen yhtälön kaltaisille yhtälöille. Nämä ovat epälokaaleja integraalidifferentiaaliyhtälöitä, jotka on määritelty singulaarisina integraaleina. Työssä tutkitaan näiden yhtälöiden heikkoja ratkaisuja sekä heikkoja superratkaisuja, joiden näytetään käyttäytyvän samoin kuin tavallisten elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tapauksessa. Lisäksi määritellään vastaava superharmonisten funktioiden käsite vertailuperiaatteella heikkojen ratkaisuiden kanssa. Näiden superharmonisten funktioiden avulla määritellään epälokaali versio Perronin menetelmästä, jonka avulla voidaan ratkaista Dirichlet'n ongelmia yleisillä reuna-arvoilla.  Superharmonisten funktioiden ominaisuuksien johtamisessa käytetään työkaluna vastaavaan yhtälöön liittyvää esteongelmaa. Tätä silmällä pitäen esteongelman ratkaisulle todistetaan useita säännöllisyystuloksia. Lisäksi tutkitaan viskositeettiratkaisujen käsitettä tarkasteltaville yhtälöille. Osoittautuu, että viskositeettisuperratkaisut muodostavat täsmälleen saman luokan kuin superharmoniset funktiot, ja rajoitetun ratkaisun tapauksessa tämä luokka yhtyy heikkojen superratkaisujen luokkaan.  Työssä tutkitaan myös maksimaalifunktioiden säännöllisyyttä yleistämällä fraktionaalisen maksimaalioperaattorin säännöllisyystuloksia lokaaliin tilanteeseen. Lisäksi tarkastellaan äärellisesti satunnaistettuja dyadisia systeemejä metrisissä mitta-avaruuksissa ja sovelletaan niitä rajoitetun keskivärähtelyn funktioihin.

Description

Supervising professor

Kinnunen, Juha, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland

Thesis advisor

Kinnunen, Juha, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
Kuusi, Tuomo, Dr., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland

Keywords

fractional Laplace equation, nonlocal operator, potential theory, superharmonic function, Perron's method, obstacle problem, fraktionaalinen Laplacen yhtälö, epälokaali operaattori, potentiaaliteoria, superharmoninen funktio, Perronin menetelmä, esteongelma

Other note

Parts

  • [Publication 1]: Toni Heikkinen, Juha Kinnunen, Janne Korvenpää and Heli Tuominen. Regularity of the local fractional maximal function. Arkiv för Matematik, Volume 53, Issue 1, pages 127–154. April 2015.
    DOI: 10.1007/s11512-014-0199-2 View at publisher
  • [Publication 2]: Toni Heikkinen and Janne Korvenpää. Finitely randomized dyadic systems and BMO on metric measure spaces. Nonlinear Analysis, Volume 120, pages 30–42, June 2015.
    DOI: 10.1016/j.na.2015.02.015 View at publisher
  • [Publication 3]: Janne Korvenpää, Tuomo Kuusi and Giampiero Palatucci. The obstacle problem for nonlinear integro-differential operators. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, Volume 55, Issue 3, 29 pages. June 2016.
    DOI: 10.1007/s00526-016-0999-2 View at publisher
  • [Publication 4]: Janne Korvenpää, Tuomo Kuusi and Giampiero Palatucci. Fractional superharmonic functions and the Perron method for nonlinear integro-differential equations. Submitted for possible publication, 48 pages, arXiv:1605.00906, May 2016.
  • [Publication 5]: Janne Korvenpää, Tuomo Kuusi and Erik Lindgren. Equivalence of solutions to fractional p-Laplace type equations. Accepted for publication in Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 21 pages, arXiv:1605.03455, August 2016.

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-7078-0

Collections

[diss] Perustieteiden korkeakoulu / SCI