Finite Element Methods for Stochastic Eigenvalue Problems

Thumbnail Image

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis

Authors

Date

2014

Department

Major/Subject

Mekaniikka

Mcode

Mat-5

Degree programme

Language

en

Pages

56 s.

Series

Abstract

In this thesis we consider finite element methods for stochastic eigenvalue problems. As a model problem we will consider the eigenvalue problem of an elliptic diffusion operator, where the diffusion coefficient is assumed to be a random field. We discuss the fundamental theory of discretizing equations of this kind and consider methods of approximately solving them. We present two numerical schemes of solving the model problem. The first one is a specific combination of the stochastic Galerkin method, stochastic collocation method, and the Rayleigh quotient iteration. The second approach is a pure collocation method, where we use Smolyak sparse grids to reduce the number of collocation points. We illustrate the convergence and functionality of the presented methods by applying them to the model problem. The stochastic collocation method is found to be a reliable choice. The Rayleigh quotient iteration scheme also seems to have potential, although it significantly overestimates the variance of the solution.

Tässä diplomityössä tarkastellaan stokastisten ominaisarvotehtävien ratkaisemista elementtimenetelmällä. Malliongelmaksi asetetaan elliptisen diffuusio-operaattorin ominaisarvotehtävä, jossa diffuusiokertoimen oletetaan olevan satunnaiskenttä. Työssä käsitellään tämän tyyppisten tehtävien diskretointiin tarvittavaa teoriaa ja tarkastellaan numeerisia menetelmiä niiden ratkaisemiseksi. Malliongelman ratkaisemiseksi esitetään kaksi menetelmää. Ensimmäinen on eräänlainen yhdistelmä stokastisesta Galerkinin menetelmästä, stokastisesta kollokaatiomenetelmästä sekä Rayleighin iteraatiosta. Toinen menetelmä on puhdas kollokaatiomenetelmä, jossa käytetään Smolyakin konstruktiota kollokaatiopisteiden määrän vähentämiseksi. Esitettyjen menetelmien suppenemista ja toimivuutta havainnollistetaan soveltamalla niitä malliongelmaan. Stokastinen kollokaatiomenetelmä todetaan luotettavaksi vaihtoehdoksi. Myös Rayleighin iteraatioon perustuva menetelmä vaikuttaa potentiaaliselta, vaikka se antaakin selvästi liian suuria arvioita ratkaisun varianssille.

Description

Supervisor

Stenberg, Rolf

Thesis advisor

Hakula, Harri

Keywords

sFEM, stokastinen kollokaatio, stokastinen Galerkinin elementtimenetelmä, stokastinen ominaisarvotehtävä, Rayleighin iteraatio, Smolyakin konstruktio, stochastic collocation, stochastic Galerkin method, stochastic eigenvalue problem, Rayleigh quotient iteration, Smolyak construction

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-201507013707

Collections

[dipl] Perustieteiden korkeakoulu / SCI