## Discrete Morse Theory from a Simple-Homotopy Point of View

##### Files
Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
2014-11-04
Matematiikka
F3006
##### Degree programme
Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma
en
v+37
##### Abstract
A simple-homotopy equivalence is a refinement of the notion of homotopy equivalence but it is still more general than the notion of homeomorphism. Geometrically simple-homotopy equivalences are generated by collapsing and expanding pairs of cells in adjacent dimensions on the boundary of a CW-complex. These simple-homotopy equivalences are detected by an algebraic invariant called Whitehead torsion. Moreover, the Whitehead torsion is related to another more computable torsion invariant named Reidemeister torsion. We investigate how these torsions are used to study the simple-homotopy type of CW-complexes. Discrete Morse theory is used to understand how CW-complexes can be simplified without changing the homotopy type. To simplify CW-complexes it uses the same elementary homotopy equivalences that generate simple-homotopy equivalences. However, we must also allow the collapses to be performed within the CW-complex. The question we answer in this thesis is whether allowing these internal collapses results to a more general notion than simple-homotopy equivalence and if so, what happens to the Whitehead torsion. It turns out that these internal collapses can always be turned into a sequence of expansions and collapses resulting to a simple-homotopy equivalence and are therefore also detected by the Whitehead torsion.

Yksinkertainen homotopiaekvivalenssi on rajoittavampi käsite kuin homotopiaekvivalenssi, mutta kuitenkin yleisempi kuin homeomorfismi. Geometrisesti ajateltuna yksinkertaiset homotopiaekvivalenssit syntyvät poistamalla ja lisäämällä toisiinsa liitettyjä soluja pareittain CW-kompleksin reunalla. Whiteheadin torsio on algebrallinen invariantti, jonka avulla voidaan löytää yksinkertaisia homotopiaekvivalensseja. Lisäksi helpommin määritettävällä Reidemeisterin torsiolla ja Whiteheadin torsiolla on läheinen yhteys, jota käytämme esittääksemme, kuinka näitä torsioita voidaan käyttää CW-kompleksien yksinkertaisen homotopiatyypin määrittämiseen. Keskeinen tavoite diskreetissä Morse-teoriassa on ymmärtää, kuinka CW-kompleksin solurakennetta voidaan yksinkertaistaa homotopiatyyppiä muuttamatta. Tämän tavoitteen saavuttamiseen diskreetti Morse-teoria käyttää samoja alkeellisia homotopiaekvivalensseja, jotka generoivat yksinkertaiset homotopiaekvivalenssit. Tässä tapauksessa solujen poistaminen täytyy kuitenkin sallia myös CW-kompleksin sisällä. Intuitiivisesti tätä voidaan ajatella romautuksena. Tämän diplomityön päätavoite on tutkia, miten solujen poistaminen CW-kompleksin sisällä vaikuttaa yksinkertaiseen homotopiatyyppiin ja mitä tällöin tapahtuu Whiteheadin torsiolle. Osoittautuu, että CW-kompleksin sisällä tehtävät romautukset voidaan aina korvata yksinkertaisella homotopiaekvivalenssilla, joten Whiteheadin torsio havaitsee myös nämä deformaatiot.
##### Supervisor
Engström, Alexander
Engström, Alexander
##### Keywords
discrete morse theory, simple-homotopy theory, lens spaces, reidemeister torsion, whitehead torsion
##### Permanent link to this item
https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-201411123028