Hyperbolinen taso ja sen isometriat Möbius-kuvauksina

Abstract

Tässä kandidaatintyössä tutkitaan hyperbolisen tasogeometrian perusteita kompleksitason ylempään puolitasoon rinnastettavan mallin, hyperbolisen tason $\mathbb{H}$, avulla. Lisäksi työssä tarkastellaan Möbius-kuvauksia sekä peilausta ympyrän suhteen, sillä nämä osoittautuvat tärkeiksi työkaluiksi hyperbolisessa tasossa. Tavoitteena on esittää hyperbolisen tason suunnistuksen säilyttävät isometriat tietynmuotoisina Möbius-kuvauksina.

Möbius-kuvaukset ovat rationaalifunktioita, jotka muodostavat ryhmän laajennetun kompleksitason $\mathbb{C}_\infty=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ bijektioita. Työssä johdetaan useita tärkeitä ja elegantteja Möbius-kuvausten perusominaisuuksia, kuten niiden taipumus säilyttää neljän pisteen välinen kaksoissuhde. Ohessa tutkitaan peilausta, jonka tietyt geometriset ominaisuudet periytyvät Möbius-kuvauksille.

Hyperbolinen tasogeometria vastaa lokaalisti euklidisesta avaruudesta indusoitua geometriaa pinnalla, jonka Gaussin kaarevuus on negatiivinen vakio. Työssä parametrisoidaan pseudopallo, joka saadaan pyörähdyspintana traktriksina tunnetusta käyrästä, ja osoitetaan sen sopivan hyperbolisen geometrian malliksi. Hyperbolinen taso konstruoidaan kuvaamalla pseudopallo konformisesti ylempään puolitasoon ja luopumalla tason euklidisesta metriikasta. Tämän jälkeen työssä selvitetään, miltä hyperboliset suorat ja ympyrät näyttävät hyperbolisessa tasossa, ja johdetaan niin kutsuttu Bolyain-Lobachevskyn kaava hyperboliselle yhdensuuntaisuuskulmalle.

Lopuksi työssä todistetaan, että Möbius-kuvauksista ne, jotka kuvaavat ylemmän puolitason itsekseen, vastaavat yksi-yhteen hyperbolisen tason suunnistuksen säilyttäviä isometrioita. Samalla löydetään vaivatta hyperbolisen tason suunnistuksen kääntävät isometriat.

This thesis explores the fundamentals of two-dimensional hyperbolic geometry using a model known as the hyperbolic plane $\mathbb{H}$, which can be identified with the upper half-plane of the complex plane. Additionally, we study Möbius transformations and inversion in a circle, both of which turn out to be crucial tools when applied to the hyperbolic plane. The main goal of this thesis is to find a way represent all orientation-preserving isometries of the hyperbolic plane as Möbius transformations of a specific form.

Möbius transformations are rational functions that form a group of bijections of the extended complex plane $\mathbb{C}_\infty=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$. We derive several important and elegant basic properties of Möbius transformations, such as the fact that they preserve the cross-ratio of any four points. Alongside, we study inversion, whose geometric properties are inherited by Möbius transformations.

Locally, 2D hyperbolic geometry is the intrinsic geometry of surfaces in $\mathbb{R}^3$ with constant negative Gaussian curvature. In this thesis, we parameterize the pseudosphere, obtained as a surface of revolution of a curve known as the tractrix, and show that it works as a model for hyperbolic geometry. The hyperbolic plane is constructed by mapping the pseudosphere conformally onto the upper half-plane while abandoning the Euclidean metric of the plane. After this, we investigate how hyperbolic lines and circles appear in the hyperbolic plane and derive the so-called Bolyai-Lobachevsky formula for the hyperbolic angle of parallelism.

Lastly, having identified the Möbius transformations that map the upper half-plane onto itself, we prove that these mappings correspond one-to-one with the orientation-preserving isometries of the hyperbolic plane. Its orientation-reversing hyperbolic isometries are also easily found in the process.