Proof of sharpness of Bernoulli percolation on Zd using an inequality for boolean functions

Abstract

In 2018, Duminil-Copin published a paper containing a new proof of the sharpness of Bernoulli bond percolation on the integer lattice. Notably, the proof utilizes a statistical inequality for boolean functions by O'Donnell, Schramm, Saks, and Servedio. This thesis reviews the proof and elaborates on the steps, making it more accessible to people without prior knowledge of percolation theory and with limited exposure to probability theory. We also present visualizations of a simulation relating to a key step of the proof to give the reader an intuition of the underlying ideas.

År 2018 publicerade Duminil-Copin en artikel med ett nytt bevis på skarpheten av Bernoulliperkolation på heltalsgittret. Särskilt för beviset är dess användning av en statistisk olikhet för booleska funktioner av O'Donnell, Schramm, Saks och Servedio. Denna uppsats granskar beviset, och utvecklar dess delsteg med målet att göra det åtkomligt för läsare utan tidigare kunskap inom perkolationsteori och med mindre erfarenhet av sannolikhetsteori. Vi för även fram visualiseringar av en simulering av ett av bevisens nyckelsteg för att förse läsaren med en intuition för de underliggande idéerna.