Hyperbolicity and Stability of Two-phase Six-equation Model
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
2024-12-19
Department
Major/Subject
Applied Mathematics
Mcode
Degree programme
Master's Programme in Mathematics and Operations Research
Language
en
Pages
56
Series
Abstract
Two-phase flow simulation is essential for reliable nuclear safety analysis. It offers a quick, safe, and cost-efficient way to evaluate and verify the safety of the power plant design. This thesis focuses on improving the stability and efficiency of a certain two-phase flow algorithm. Currently, the algorithm experiences unphysical velocity and pressure spikes during phase appearance and disappearance. They are caused by singularities that form when one phase is present in negligible proportions. Moreover, the algorithm can solve volume fractions that are less than zero or more than one, which is unphysical. To resolve these issues, a velocity conditioning approach is introduced, aligning the velocity of the vanishing phase with that of the dominant phase by increasing the interface friction. This technique eliminates velocity and pressure spikes while inherently constraining volume fractions to their physical range. Therefore, other correction methods presented in this thesis appear redundant. With velocity conditioning, the algorithm becomes significantly more stable, enabling larger time steps and improving simulation efficiency. Unphysical oscillations observed in the original algorithm are also eliminated. Originally, the algorithm uses mass conservation as its only convergence criterion. This work implements a convergence check for energy conservation and discusses its significance and the required error tolerances in general. The most common model for simulating two-phase flow in nuclear safety analysis is the one-pressure six-equation model. Despite its popularity, the model is generally non-hyperbolic, and therefore solving the time evolution of a two-phase flow with it is not a well-posed problem. The hyperbolicity of the model can be improved by adding interface pressure or virtual mass terms to it. This work discusses hyperbolicity in general and for the six-equation model and evaluates the significance of the hyperbolicity-inducing terms. In practice, the lack of hyperbolicity is more of a mathematical concern. Strong numerical diffusion in the solution algorithm helps by damping any unphysical oscillations, which stabilizes the solution. Using dense spatial discretization can decrease the numerical diffusion and cause divergence.Kaksifaasivirtauksen simulointi on keskeinen osa luotettavaa ydinturvallisuusanalyysia. Se mahdollistaa nopean, turvallisen ja kustannustehokkaan tavan arvioida suunnitellun voimalaitoksen turvallisuutta. Tämä työ keskittyy erään kaksifaasivirtausta mallintavan algoritmin vakauden ja tehokkuuden parantamiseen. Algoritmin alkuperäisessä versiossa esiintyy nopeus- ja painepiikkejä, jotka johtuvat toisen olomuodon häviävän pienen osuuden aiheuttamista singulariteeteistä. Tämän lisäksi algoritmin ratkaisemat olomuotojen tilavuusosuudet voivat olla epäfysikaalisesti alle nollan tai yli yhden. Näiden ongelmien ratkaisemiseksi työssä esitellään menetelmä, jolla saadaan häviävän olomuodon nopeus lähestymään hallitsevan olomuodon nopeutta lisäämällä niiden välistä kitkaa. Tämä menetelmä onnistuu poistamaan epäfysikaaliset nopeus- ja painepiikit, minkä ansiosta myös tilavuusosuudet pysyvät lähes aina fysikaalisina. Tämän vuoksi kaksi muuta esiteltyä tilavuusosuuksien korjausmenetelmää osoittautuvat tarpeettomiksi. Korjausten ansiosta algoritmi on huomattavasti vakaampi, mikä mahdollistaa suurempien aika-askelten käytön ja parantaa algoritmin tehokkuutta. Lisäksi alkuperäisessä versiossa havaittuja epäfysikaalisia värähtelyjä ei enää esiinny. Alkuperäisen algoritmin ainoa suppenemiskriteeri on massan säilyminen. Tässä työssä tutkitaan energian säilymisen merkitystä toisena suppenemiskriteerinä sekä yleisiä vaatimuksia riittävän supenneelle ratkaisulle. Yleisin malli kaksifaasivirtauksen simulointiin on yhden paineen kuuden yhtälön malli. Tämä malli ei yleisessä tapauksessa ole hyperbolinen, mikä tekee virtauksen aikakehityksen ratkaisemisesta matemaattisesti huonosti määritellyn ongelman. Mallin hyperbolisuutta voidaan parantaa lisäämällä siihen rajapinnan paine- tai virtuaalimassatermi, joiden vaikutuksia arvioidaan tässä työssä. Käytännössä hyperbolisuuden puute on vain matemaattinen ongelma, sillä ratkaisualgoritmin voimakas numeerinen diffuusio auttaa vaimentamaan epäfysikaalisia värähdyksiä ja vakauttamaan ratkaisua. Käytettäessä hyvin tiheää hilaa numeerinen diffuusio heikkenee, mikä voi johtaa värähtelyjen palaamiseen ja ratkaisun hajaantumiseen.Description
Supervisor
Hannukainen, AnttiThesis advisor
Murad, AfeefKeywords
two-phase flow, hyperbolicity, six-equation model, nuclear safety analysis, thermohydraulic simulation, phase appearance and disappearance