## Limit analysis of 3D plate structures and numerical implementation in FE modelling

No Thumbnail Available
School of Engineering | Master's thesis
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
2010
Lujuusoppi
Kul-49
en
##### Pages
52 s. + liitt. 19
##### Abstract
The plasticity theory offers various tools for enabling to design structures to function in addition to their elastic region also once plastic behaviour is encountered. Some of these tools can also provide an accurate way of finding the ultimate loading for given structure. These advancements aren't entirely free as the complexity comparing to elastic calculations increase greatly. Kinematic approach of limit analysis is one method that directly gives the upper limit solution for limit loading. The solution is sought without giving any attention to the structures behaviour before rupture. Actually this part of limit analysis searches to find the optimal solution to align the plastic deformation in the structure by assuming compatibility between the equilibrium of the system and the yield limit imposed by the constitutive relation. In this study a numerical model using the kinematic approach is developed for 3D plate structures using the interpolation functions from Finite Element Analysis. It is aimed to function as a part of an operational structure analysis program named PYTHAGORE used in civil engineering. To find the limit solution of the model, its minimum value of a specific function needs to be found. Therefore, a non-linear optimization method using the functions gradient is used. The function to minimize does not have generous qualities for optimizing and therefore the convergence of the minimization is one of the challenges of this study. Having elaborated the FORTRAN code for the model, example problems were proposed. In simple cases like pure bending, solution was found easily, while more sophisticated problems suffered from convergence problems. The calculated gradient got components for degrees of freedom other than the ones that were actively used for its deformations. This was a major problem that perturbed the convergence and couldn't be solved in this work. Penalisation of distraction gradients was tried and is proposed for further study as it showed positive signs. We can say that at least half of the goal was achieved as the as the model was well built and integrated to PYTHAGORE. Also a precise solution was found for basic examples. Precise convergence for more general problems has to wait for further studies.

Plastisuusteoria tarjoaa useita mahdollisuuksia tarkastella rakenteiden käyttäytymistä niiden myötörajalla sekä myödön jo alettua. Elastisilla laskelmilla tämä ei ole mahdollista. Rakenteiden rajakuorman määrittäminen ja murtumismallien kehittäminen on plastisuusteorian tärkein soveltamiskohde. Plastisuuden huomioonottaminen laskelmissa tuo suuria etuuksia tuloksiin, mutta kääntöpuolena mallit ovat usein matemaattisesti hyvin raskaita verrattuna elastisiin laskelmiin. Rakenteen kestokyvyn yläraja voidaan ratkaista suoraan lähestymällä ratkaisua ulkoa päin käyttämällä rajatila-analyysin kinemaattista menetelmää. Rajakuorma ja siihen liittyvä murtumismekanismi saadaan suoraan ottamatta huomioon rakenteen käyttäytymistä ennen murtumista. Rakenteen jäykkyysmatriisia ei tarvita ratkaisuun, koska menetelmä käyttää materiaalikäyttäytymisen mallintamiseen (konstitutiiviset yhtälöt) tunnettuja myötökriteerejä ja etsii suoraan yhteensopivuuden materiaalimallin ja systeemin tasapainon välillä. Tämän työn päämääränä oli kehittää numeerinen laskentamalli laattarakenteiden analysointiin käyttäen edellä mainittua menetelmää. Malli rakennettiin käyttämällä kolmiulotteisten laattaelementtien interpolaatiopolynomeja suoraan Elementtimenetelmäohjelmisto PYTHAGORE:sta, jota käytetään rakennusalalla mallien luomiseen ja rakenteiden analysointiin. Elementtidiskretisoinnilla saadusta muodonmuutosratkaisusta kehitettiin lauseke, jonka ratkaisu täytyi etsiä optimoimalla. Yksi tutkimuksen haasteista oli löytää minimoitavan lausekkeen gradientti, joka ohjaa käytettävää minimointimenetelmää. Malli ohjelmoitiin FORTRAN ohjelmointikielellä ja liitettiin PYTHAGORE ohjelmiston rakenteeseen. Lopuksi esitettiin joitain esimerkkiongelmia, jotta menetelmän toimivuutta voitiin tutkia. Vallitseviksi kuormituksiksi otettiin puhdas taivutus, pistevoima leikkaussuunnassa ja jakautunut kuormitus laatan pinnalla. Laattaelementeillä mallinnetun ulokepalkin rajakuorma puhtaalle taivutukselle saatiin ratkaistua erittäin hyvällä tarkkuudella. Monimutkaisemmissa tapauksissa lausekkeen gradientti ei toiminut toivotulla tavalla ja siten haittasi ratkaisun konvergointia. Gradientille muodostui komponentteja, jotka eivät vastanneet ennustettuja murtumismallien siirtymäsuuntia. Nämä komponentit tulisi tunnistaa ja niiden vaikutusta vähentää tai se poistaa, jotta optimointi saataisiin toimimaan kunnolla. Voidaan sanoa, että ainakin puolet tavoitteista saavutettiin, koska malli saatiin rakennettua ja ohjelmoitua osaksi lujuuslaskentaohjelmaa. Myös tarkka ratkaisu löydettiin osalle malliongelmista. Monimutkaisemman mallin tarkka ratkaisu jää odottamaan jatkotutkimusta.
Tuhkuri, Jukka
Cespedes, Xavier
##### Keywords
plasticity, plastisuus, limit analysis, rajatila-analyysi, kinematic approach, kinemaattinen menetelmä, limit load, rajakuorma, rupture mode, murtumismekanismi, element model, elementtimalli, minimization, PYTHAGORE, convergence, minimisointi, PYTHAGORE, konvergointi
##### Permanent link to this item
https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-2020122357615