Triangulations of the topological closed disk and circle packings

Loading...
Thumbnail Image
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
Date
2016-06-14
Department
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
F3006
Degree programme
Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma
Language
en
Pages
93 + 5
Series
Abstract
The main studies of this thesis are triangulations of the topological closed disk and circle packings as providers of embeddings in the hyperbolic disk for such triangulations. Triangulations are first introduced for a more general class of topological surfaces, before focusing on triangulations of the closed disk. The combinatorial nature of triangulations is revealed and it is used to identify triangulations. Construction of bijections between sets of triangulations leads to a recursive formula for the number of rooted triangulations with given number of boundary and interior vertices. After writing the recursion in terms of generating functions, an explicit formula for the number of rooted triangulations is derived. The methods used to derive the recursive formula are also used to uniform sampling of rooted triangulations. Circle packings are introduced at first in more general context, before concentrating on circle packings in the hyperbolic disk. The main result is that for every triangulation of the topological closed disk, there exists the maximal circle packing in the hyperbolic disk obeying the combinatorics of the triangulation. This maximal circle packing provides us with an embedding of the triangulation in the disk. These embeddings are used to visualize a collection of uniform random rooted triangulations. In the final chapter, a definition for uniform probability measures on classes of rooted triangulations with fixed number of vertices is provided. After that, random boundary length variables from the classes to natural numbers is defined and proved that the random boundary length converges in distribution to a non-degenerate random variable, as the number of vertices tends to infinity. Respectively, after defining probability measures on classes of rooted triangulations with fixed boundary length, it is shown that an appropriately renormalized random number of vertices converges in distribution to a non-degenerate random variable, as the boundary length tends to infinity.

Tämän diplomityön pääaiheina ovat topologisen suljetun kiekon triangulaatiot ja ympyräpakkaukset, jotka tarjoavat kyseisille triangulaatioille upotuksen hyperboliseen kiekkoon. Triangulaatiot esitellään aluksi yleisemmin topologisille pinnoille, ennen keskittymistä suljetun kiekon triangulaatioihin. Triangulaatioiden kombinatorista luonnetta käytetään niiden identifioimiseksi. Bijektioiden muodostaminen triangulaatiojoukkojen välille johtaa rekursiiviseen kaavaan juurellisten triangulaatioiden lukumäärälle reuna -ja sisäpisteiden suhteen. Kun rekursio on kirjoitettu generoivien funktioiden avulle, ratkaistaan eksplisiittinen kaava juurellisten triangulaatioiden lukumäärille. Rekursiivisen kaavan muodostamisessa käytettyjä metodeita sovelletaan myös juurellisten triangulaatioiden tasaiseen otantaan. Ympyräpakkaukset määritellään aluksi yleisemmässä kontekstissa, ennen keskittymistä hyperbolisen kiekon ympyräpakkauksiin. Päätulos on, että jokaiselle topologisen suljetun kiekon triangulaatiolle on olemassa maksimaalinen ympyräpakkaus hyperbolisessa kiekossa noudottaen kyseisen triangulaation kombinatoriikkaa. Nämä maksimaaliset ympyräpakkaukset tarjoavat suljetun kiekon triangulaatioille upotukset hyperboliseen kiekkoon. Kyseisiä upotuksia käytetään tässä työssä visualisoimaan tasaisesti valittuja satunnaisia triangulaatioita. Viimeisessä kappaleessa luodaan tasaiset todennäköisyysmitat juurellisten triangulaatioiden luokille, joidenka triangulaatioiden pisteiden kokonaislukumäärä on kiinnitetty. Tämän jälkeen luokille määritellään reunan-pituus-satunnaismuuttujat ja todistetaan, että nämä satunnaismuuttujat suppenevat jakaumaltaan, kun pisteiden kokonaislukumäärä lähestyy ääretöntä. Vastaavasti määritellään todennäköisyysmitat luokille, joidenka triangulaatioiden reunapisteiden lukumäärä on kiinnitetty ja näytetään, että sopivalla tavalla uudelleen normalisoidut pisteiden-kokonaislukumäärä-satunnaismuuttujat suppenevat jakaumaltaan, kun reunapisteiden lukumäärä lähestyy ääretöntä.
Description
Supervisor
Kytölä, Kalle
Thesis advisor
Ivarsson, Björn
Kytölä, Kalle
Keywords
triangulations, circle packings, 2-complexes, embeddings, hyperbolic disk, random triangulations
Other note
Citation