Transfer matrix for the hexagonal self-avoiding walk

Loading...
Thumbnail Image
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
Date
2016-06-14
Department
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
F3006
Degree programme
Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma
Language
en
Pages
53+5
Series
Abstract
In the thesis I show that a self-avoiding walk in the hexagonal lattice can be defined as a sequence of configurations indexed by height. Using these configurations I introduce a transfer matrix formulation for self-avoiding walks in rectangular subdomains of the lattice with endpoints fixed to the top and bottom of the domain. The transfer matrix allows me to calculate visiting probabilities of the self-avoiding walk in an explicit form. The eigensystem of the transfer matrix makes it possible to calculate the same probabilities in an infinitely high rectangle or vertical strip. I map the infinitely high vertical strip to the half-plane and compare the edge visiting probabilities of the critical self-avoiding with the conjectured scaling limit, the conformally invariant stochastic Löwner evolution curve $SLE_{8/3}.$ I also recall the proof of the connective constant of the hexagonal lattice that defines the critical self-avoiding walk needed in the thesis.

Osoitan diplomityössäni, että itseään välttävä kävely voidaan määritellä kuusikolmiohilassa korkeuden avulla indeksoituna konfiguraatiojonona. Esitän konfiguraatioita hyödyntäen siirtomatriisiformulaation suorakulmion muotoisen alueen pohjasta ylälaitaan kulkeville itseäänvälttäville kävelyille. Siirtomatriisin avulla pystyn laskemaan itseäänvälttävän kävelyn vierailutodennäköisyyksiä eksplisiittisesti. Siirtomatriisin ominaisavaruuden avulla pystyn laskemaan samat vierailutodennäköisyydet myös, kun suorakulmiota kasvatetaan äärettömän korkeaksi liuskaksi. Kuvaan kriittisen itseäänvälttävän kävelyn äärettömän korkeasta liuskasta konformisti puolitasolle ja vertaan reunavierailutodennäköisyyksiä konjekturoituun skaalausrajaan, konformi-invarianttiin stokastiseen Löwner-evoluutiokäyrään $SLE_{8/3}.$ Kertaan myös todistuksen työssä tarvittavalle kriittisen itseään välttävän kävelyn määrittävälle hilavakiolle kuusikulmiohilassa.
Description
Supervisor
Kytölä, Kalle
Thesis advisor
Kytölä, Kalle
Varpanen, Harri
Keywords
self-avoiding walk, transfer matrix, SLE, conformal invariance, hexagonal lattice, statistical mechanics
Other note
Citation