Integration in a Normal World: Fractional Brownian Motion and Beyond

Loading...
Thumbnail Image
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2014-02-28
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Date
2014
Major/Subject
Mcode
Degree programme
Language
en
Pages
155
Series
Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS, 14/2014
Abstract
This thesis is about stochastic integration with respect to Gaussian processes that are notsemimartingales. Firstly, we study approximations of integrals with respect to fractionalBrownian motion and derive an upper bound for an average approximation error. Secondly, westudy the existence of pathwise integrals with respect to a wide class of Gaussian processes andintegrands. We prove the existence of two different notions of pathwise integrals. Moreover,these two different integrals coincide. As an application of these results, the thesis containsintegral representations for arbitrary random variables. Finally, we study a certain modelinvolving a Gaussian process and provide estimators for different parameters. We applyMalliavin calculus and divergence integrals to obtain central limit theorems for our estimators.

Tämä väitöskirja käsittelee stokastista integrointia Gaussisten prosessien suhteen,jotka eivät ole semimartingaaleja. Aluksi työssä tutkitaan approksimaatioita integraaleillefraktionaalisen Brownin liikkeen suhteen ja johdetaan yläraja keskimääräiselleapproksimaatiovirheelle. Seuraavaksi työssä tutkitaan poluttaisten integraalien olemassaoloalaajalle joukolle Gaussisia prosesseja ja integrandeja. Työssä todistetaan kahden erilaisenpoluttaisen integraalin olemassaolo. Lisäksi työssä näytetään, että nämä kaksi erilaistaintegraalia yhtyvät. Sovelluksena näistä tuloksista väitöskirjassa johdetaan integraaliesitysmielivaltaiselle satunnaismuuttujalle. Lopuksi työssä tutkitaan erästä Gaussisen prosessinsisältävää mallia ja määritellään estimaattorit mallin eri parametreille. Työssäjohdetaan keskeiset raja-arvolauseet määritellyille estimaattoreille hyödyntäen Malliavinlaskentaa ja divergenssi-integraaleja.
Description
Supervising professor
Nevanlinna, Olavi, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
Valkeila, Esko, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
Thesis advisor
Sottinen, Tommi, Prof., University of Vaasa, Finland
Keywords
Gaussian process, fractional Brownian motion, approximation error, pathwise integrals, integral representation, parameter estimation, divergence integrals, Gaussinen prosessi, fraktionaalinen Brownin liike, approksimaatiovirhe, poluttainen integraali, integraaliesitys, parametrin estimointi, divergenssi-integraali
Other note
Parts
  • [Publication 1]: L. Viitasaari and E. Azmoodeh. Rate of Convergence for Discretization of Integrals with Respect to Fractional Brownian Motion. Journal of Theoretical Probability,
    DOI: 10.1007/s10959-013-0495-y, 27 pages, May 2013. View at publisher
  • [Publication 2]: L. Viitasaari and T. Sottinen. Pathwise Integrals and Itô–Tanaka Formula for Gaussian Processes. http://arxiv.org/abs/1307.3578, 24 pages, January 2014.
  • [Publication 3]: L. Viitasaari. Integral Representation of Random Variables with Respect to Gaussian Processes. Accepted for publication in Journal of Theoretical Probability, http://arxiv.org/abs/1307.7559, 17 pages, January 2014.
  • [Publication 4]: L. Viitasaari and E. Azmoodeh. Parameter Estimation Based on Discrete Observations of Fractional Ornstein-Uhlenbeck Process of the Second Kind. http://arxiv.org/abs/1304.2466, 23 pages, January 2014.
Citation