# Generalization of Descartes' rule of signs to multivariate polynomials with real exponents

##### Files
Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
2024-06-18
Mathematics
SCI3054
##### Degree programme
Master’s Programme in Mathematics and Operations Research
en
67
##### Abstract
In this thesis, we consider a generalization of Descartes' rule of signs to multivariate polynomials with real exponents defined in the positive orthant. Descartes' rule of signs bounds the number of positive real roots that a univariate polynomial has by the number of sign changes in the coefficient sequence of the polynomial. This generalization is due to Elisanda Feliu and Mate Telek and it aims to bound the number of connected components, where a polynomial takes negative values in the positive orthant with the data from the exponents and signs of the coefficients. We identify the exponents of a multivariate polynomial as vectors and use their geometry to form the bounds. To each exponent vector we assign a sign, the sign of the corresponding coefficient. The bounds then depend on both the geometry of the exponent vectors and their signs. We present existing results for this generalization in a self-contained form. Using the existing results, we categorize polynomials with a fixed number of terms, up to four terms. We examine the overlap between conditions that show that a polynomial has at most one connected component where it obtains negative values. We also discuss whether existing ideas and bounds could be extended to polynomials that currently we do not have bounds for.

Tässä diplomityössä tutkin Descartesin merkillisen säännön yleistystä usean muuttujan polynomeille, joiden eksponentit ovat reaalilukuja. Nämä yleistetyt polynomit ovat määritelty koortinaatiston alueella, jossa kaikki koordinaatit ovat positiivisia. Descartesin merkillinen sääntö antaa ylärajan polynomin positiivisille reaalijuurille. Yläraja on polynomin etumerkkisarjan muutosten määrä. Descartesin säännön yleisteys on Elisanda Feliun ja Mate Telekin esittämä ja se antaa ylärajan yhtenäisille komponenteille, jolla yleistetty polynomi saa negatiivisia arvoja. Ehdot ylärajoille ovat määritelty polynomin eksponenttien geometrian ja kertoimien etumerkkien avulla. Tieto polynomin eksponenteistä voidaan esittää vektorina euklidisessa avaruudessa. Jokaiselle eksponentille määritetään etumerkki, joka on eksponenttia vastaavan kertoimen etumerkki. Tässä työssä esitän olemassaolevia tuloksia tälle yleistykselle, tutkin mitä yhtenäisyyksiä ehdoilla on, jotka takaavat enintään yhden yhtenäisen komponentin, kategorisoin polynomit yhtenäisten komponenttien mukaan neljään termiin asti ja keskustelen mahdollisuudesta laajentaa olemassaolevia tuloksia.
Kubjas, Kaie