Diffuse Optical Tomography with an Inaccurate Forward Operator in the Linearized Inverse Problem
Loading...
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Author
Date
2024-06-18
Department
Major/Subject
Applied Mathematics
Mcode
SCI3053
Degree programme
Master’s Programme in Mathematics and Operations Research
Language
en
Pages
49
Series
Abstract
This thesis studies linearized inverse problems with an inaccurate forward operator. The inverse problems are considered in the Bayesian framework. We use principal component analysis (PCA) to obtain a Bayesian model where the inaccuracy of the forward operator is included, and introduce two different algorithms for optimizing it: an alternating expectation-maximization algorithm and gradient descent. The former one aims to estimate both the primary unknown and the operator inaccuracy, and the latter one is applied to the posterior that is already marginalized with respect to the operator inaccuracy. We apply the methods to the ill-posed, high-dimensional difference image reconstruction problem of diffuse optical tomography (DOT). In this thesis, the focus lies on the functional brain imaging of neonates. Our primary goal is to reconstruct the activity-related absorption changes in a neonatal brain, and our secondary goal is to obtain an approximation for the inaccurate forward operator, which in the context of brain imaging is the sensitivity profile, i.e., the Jacobian matrix of the measurements with respect to absorption for the considered neonate. We first tested the two algorithms using a simple validation example. Both algorithms managed to reconstruct the underlying signal with reasonable accuracy. However, due to the relative slowness of the gradient descent algorithm compared to the expectation-maximization algorithm, we decided to test only the latter one on our imaging problem of DOT. The performance of the expectation-maximization algorithm on the simulated imaging problem was promising. The algorithm was able to improve the initial reconstruction of the absorption change. The perturbation area was confined better, and there was also less noise in the background of the final reconstruction compared to the initial one with a mean Jacobian. However, the contrast was weaker in the final reconstruction, and the unknown forward operator could not be reconstructed with reasonable accuracy. Overall, the behavior of the expectation-maximization algorithm was very sensitive to, e.g., the location and contrast of the perturbation, the properties of noise, and the regularization of the principal components. Nevertheless, the results were promising and the algorithm has potential for further studies.Tässä työssä tarkastellaan linearisoituja käänteisongelmia, joissa alkuperäisen ongelman operaattori on epätarkka. Käänteisongelmia käsitellään bayesilaisen inversion menetelmiä käyttäen. Työssä sovelletaan pääkomponenttianalyysia, jotta saadaan muotoiltua ongelma, jossa operaattorin epätarkkuus on osa ratkaistavaa ongelmaa. Tämän ongelman ratkaisemiseksi esitellään kaksi algoritmia: EM-algoritmi (eng. \textit{expectation-maximization algorithm}) sekä gradienttimenetelmä. Näistä algoritmeista edellinen pyrkii mallintamaan sekä tuntemattoman muuttujan että operaattorin epätarkkuuden, ja jälkimmäinen pyrkii ratkaisemaan tuntemattoman posteriorista, joka on jo marginalisoitu operaattorin epätarkkuuden suhteen. Menetelmiä sovelletaan diffuusin optisen tomografian (DOT) kuvantamisongelmaan, joka on sekä huonosti asetettu että korkeaulotteinen. Työssä keskitytään vastasyntyneiden toiminnalliseen aivokuvantamiseen. Pääasiallisena tavoitteena on rekonstruoida vastasyntyneen aivoissa tapahtuneita aktivaatioon liittyviä absorptiomuutoksia. Toisena tavoitteena on muodostaa estimaatti tuntemattomalle operaattorille, joka aivokuvantamisen yhteydessä on vastasyntyneen herkkyysprofiili eli mittausten Jacobin matriisi absorptiojakauman suhteen. Algoritmien suorituskykyä kokeiltiin ensin yksinkertaisella validaatioesimerkillä. Molemmat algoritmit onnistuivat rekonstruoimaan taustalla olevan signaalin kohtuullisen tarkasti. Gradienttimenetelmä oli kuitenkin huomattavasti hitaampi verrattuna EM-algoritmiin, joten vain EM-algoritmia kokeiltiin DOT-kuvantamisongelman ratkaisemiseen. EM-algoritmi toimi melko hyvin myös simuloidun kuvantamisongelman ratkaisemiseen. Algoritmi onnistui parantamaan simuloidun absorptiomuutoksen Jacobin matriisin odotusarvoon pohjautuvaa alkurekonstruktiota. Lopullisessa rekonstruktiossa perturbaatioalue oli paremmin rajattu ja taustakohinaa oli vähemmän verrattuna alkurekonstruktioon. Kontrasti kuitenkin heikkeni alkurekonstruktioon verrattuna eikä operaattorille kyetty muodostamaan estimaattia kohtuullisella tarkkuudella. Kaiken kaikkiaan EM-algoritmi oli hyvin herkkä esimerkiksi perturbaation sijainnille ja suuruudelle, kohinan parametreille sekä pääkomponenttien regularisoinnille. Tulokset olivat kuitenkin lupaavia ja algoritmissa on paljon potentiaalia jatkotutkimusta ja -kehitystä varten.Description
Supervisor
Hyvönen, NuuttiThesis advisor
Hirvi, PauliinaKeywords
inaccurate forward operator, Bayesian inversion, diffuse optical tomography, brain imaging
