Confidence interval estimation of extreme quantiles in semiconductor processes

Loading...
Thumbnail Image
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
Date
2021-08-24
Department
Major/Subject
Applied Mathematics
Mcode
SCI3053
Degree programme
Master’s Programme in Mathematics and Operations Research
Language
en
Pages
74
Series
Abstract
Integrated circuits (ICs) are present virtually everywhere in electronics, including computers, phones and other appliances. Historically, the transistor count in ICs has constantly increased, and simultaneously the semiconductor components have shrunk in size. One essential parameter in IC design is path delay, which has traditionally been thought to be normally distributed; however, when approaching 16 nm or even 28 nm manufacturing processes at low voltages, this assumption no longer seems to hold. This calls for alternative methods to estimate confidence intervals of the extreme path delays, which are pivotal in calculating the yield of a circuit. To tackle this problem, we first consider some general inequalities from probability theory, after which we review different methods for fitting probability distributions to data and assessing the goodness of fit. We then consider the Pearson distribution family that has extensive shape flexibility, followed by estimators from extreme value theory (EVT), which deals with modeling extreme events. Lastly, we introduce the bootstrap method for confidence interval construction. Our data is generated with a program using Monte Carlo simulations from a custom integrated circuit, which uses a 22 nm manufacturing process. Before calculating confidence intervals of different quantiles for the data, we choose candidate distributions to fit to the data as well as propose our own novel heuristic estimators from EVT. The results indicate that almost none of the data is normally distributed, which is also confirmed visually. Likewise, we conclude that the Pearson type IV distribution provides decent results, which happen to coincide with one of the previously coined EVT estimators. Finally, we discuss potential research questions in future work related to this topic. Among others, we consider different alternatives to the Pearson distribution family. One such family is called the metalog distribution, which has many desirable properties. We also discuss the possibility of applying graph theory to path delay calculation as well as potential improvements to the newly coined EVT estimators.

Mikropiirit ovat läsnä lähes kaikessa elektroniikassa, kuten tietokoneissa, puhelimissa sekä muissa laitteissa. Transistorien määrä piireissä on historian saatossa kasvanut jatkuvasti, ja vastaavasti puolijohdekomponenttien koko pienentynyt. Eräs keskeinen parametri piirisuunnittelussa on polkuviive, joka on perinteisesti mielletty normaalijakautuneeksi. Kun lähestytään 16 nm:n tai jopa 28 nm:n valmistusprosesseja alhaisilla jännitteillä, tämä oletus ei näytä enää toimivan. Tämän vuoksi tarvitaan vaihtoehtoisia menetelmiä arvioimaan äärimmäisten polkuviiveiden luottamusvälejä, jotka ovat keskeisiä piirin saannon laskemisessa. Valitsemme ensimmäiseksi lähestymistavaksi tähän ongelmaan yleisiä epäyhtälöitä todennäköisyysteoriasta, minkä jälkeen käymme läpi erilaisia menetelmiä todennäköisyysjakaumien sovittamiseen aineistoon sekä sovituksen hyvyyden arvioimiseen. Tämän jälkeen esittelemme Pearsonin jakaumaperheen, joka tarjoaa joustavasti erimuotoisia jakaumia. Seuraavaksi käymme läpi eri estimaattoreita ääriarvoteoriasta, jossa keskitytään ääri-ilmiöiden mallintamiseen. Lopuksi esittelemme bootstrap-menetelmän luottamusvälien muodostamiseen. Työssä käytetyt aineistot ovat generoitu tietokoneella Monte Carlo -simulaatioilla mikropiiristä, jossa on käytetty 22 nm:n valmistusprosessia. Ennen kuin laskemme luottamusvälejä aineistojen kvantiileille, valitsemme eri jakaumia sovitettavaksi aineistoihin sekä ehdotamme uudenlaisia heuristisia estimaattoreita ääriarvoteoriaan nojaten. Tuloksista nähdään, etteivät lähes mitkään aineistoista ole normaalijakautuneita, mikä havaitaan myös visuaalisesti. Lisäksi toteamme Pearsonin tyypin IV jakauman antavan kelvollisia tuloksia, jotka sattuvat olemaan samansuuruisia erään edellä esitetyn ääriarvoteorian estimaattorin kanssa. Lopuksi keskustelemme mahdollisista suuntauksista tämän aiheen jatkotutkimukseen liittyen. Käymme muun muassa läpi toisia jakaumaperheitä Pearsonin jakaumaperheen lisäksi. Eräs näistä on nimeltään metalog-jakauma, jolla tiedetään olevan useita haluttuja ominaisuuksia. Keskustelemme myös verkkoteorian mahdollisesta soveltamisesta polkuviiveiden laskemisessa sekä erilaisista mahdollisuuksista parantaa tässä työssä kehitettyjä ääriarvoteorian estimaattoreita.
Description
Supervisor
Ilmonen, Pauliina
Thesis advisor
Koskinen, Lauri
Keywords
Pearson distribution, extreme value theory, bootstrapping, quantile estimation, confidence intervals, semiconductors
Other note
Citation