Critical points of polynomials - Gauss-Lucas theorem and Sendov’s conjecture

Thumbnail Image

Files

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

School of Science | Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025-12-13

Department

Major/Subject

Mathematics and Systems Sciences

Mcode

Degree programme

Bachelor's Programme in Science and Technology
Teknistieteellinen kandidaattiohjelma
Kandidatprogram i teknikvetenskap

Language

en

Pages

25

Series

Abstract

A fundamental property of polynomials is their critical points, which is a central tool used in analyzing these functions. A polynomial can be uniquely defined by its roots up to a multiplicative constant and, therefore, there is a strong connection between the critical points and the roots of a polynomial. In the first part of this thesis, we present the Gauss-Lucas theorem, which provides a bound for the convex set containing all the critical points of a polynomial. In addition, we give a full proof of the theorem and build an intuitive understanding of it by presenting the required theory of convex sets and by comparing the statement of the theorem to electric fields generated by point charges. In the second part of the thesis we take a closer look at a conjectured improvement of the upper bound of the distance between the roots of a polynomial and its critical points. This is formulated in what is usually called Sendov’s conjecture, also known as Illief’s conjecture in some texts. In practice, we look at a few well-chosen examples highlighting the conjectured behavior of the critical points and the roots. We also discuss recent developments in a potential full proof of the statement while showing that a potential proof or counterexample of the conjecture will require different methods from the ones currently used in proving the conjecture for special cases, such as for low-degree polynomials.

Kritiska punkter för polynom spelar en central roll i analysen av dessa funktioner och förhållandet mellan dem och polynomets nollställen är därför av största intresse. Polynom har studerats i hundratals år men det utgör ändå ett öppet forskningsområde inom matematiken än idag. Det är välkänt att ett polynom kan unikt faktoriseras med hjälp av dess nollställen och att derivering av ett polynom ger upphov till ett nytt polynom. Därmed finns det en stark koppling mellan rötterna till polynomet och dess kritiska punkter, alltså derivatans nollställen. Vi börjar med att presentera konvexa mängder samt några nyttiga satser gällande dem för att kunna förstå Gauss-Lucas sats som begränsar det komplexa planet till en delmängd som måste innehålla alla kritiska punkter till ett polynom givet nollställena till det ursprungliga polynomet. För att skapa intuition för hur systemet av nollställen och kritiska punkter beter sig, drar vi en koppling till hur punktladdningar i ett plan beter sig. Den minsta konvexa mängden som innehåller alla rötter till polynomet fås som snittet av alla konvexa mängder som innehåller rötterna. Denna mängd har ett eget namn, det konvexa höljet, och det är inuti den som Gauss-Lucas sats garanterar att alla kritiska punkter ligger. Denna mängd kan dock vara relativt stor, och därför skulle det vara önskvärt att kunna begränsa området ytterligare i det komplexa planet. I avhandlingen diskuteras därför Sendovs förmodan, som tillsammans med Gauss-Lucas sats hittar en strängare övre gräns för distansen mellan nollställen och de kritiska punkterna. Förmodan är ofta formulerad för ett normaliserat polynom så att alla dess rötter ligger i den slutna enhetsdisken i det komplexa planet. Då låter förmodan på följande vis - välj ett godtyckligt nollställe. Då finns åtminstone en kritisk punkt på avståndet högst ett från det valda nollstället. Denna förmodan har dock inte bevisats i det allmänna fallet än, och därmed lyfts metoder som använts för bevis för många specialfall fram och en helhetsbild över problemet formuleras. Vi visar också exempel på olika slags extremfall, som till exempel att förmodan håller för nollställen på randen av enhetsdisken, vilket betyder att de svåra fallen kommer alla att bestå av polynom med nollställen i det inre av enhetsdisken. Till sist diskuterar vi ett nyligen publicerat resultat som säger att förmodan håller för polynom av tillräckligt stor grad.

Description

Supervisor

Korte, Riikka

Thesis advisor

Ivarsson, Björn

Keywords

Gauss-Lucas theorem, Sendov’s conjecture, polynomials, critical points, convex sets

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202512309697

Collections

[kand] Perustieteiden korkeakoulu / SCI