The Sylow Theorems and Classification of Finite Groups

Thumbnail Image

Files

Aalto_Henrik_2025.pdf (780.95 KB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025-04-24

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

en

Pages

69

Series

Abstract

A group is, by definition, a simple mathematical structure from which stems a complex and fruitful branch of mathematics. Two natural examples of groups are the states of the Rubik's cube and the integers modulo n, Zn. The power of groups lies in their ability to effectively model very fundamental systems: symmetries and their combinations. Group-theoretic research has traditionally focused on the precise classification of groups. In this approach, the specific elements of a group do not matter, rather, it is only the relationships among the elements that determine the class of the group. The so-called 'group axioms' impose strict constraints on the structure. By studying this structure, one obtains classification results that have direct applications in crystallography and number theory. In this bachelor's thesis, the classification of groups of order up to 20 is examined in detail, starting from the definition of a group. Central results of group theory and the precise examination of the structure of small groups are central in the work. As aids for classification, additional structures related to groups are defined, such as subgroups and cosets. Through these, we obtain access to Sylow's theorems and the fundamental theorem of finite Abelian groups, both of which are powerful tools for constraining the possibilities of classification. On the other hand, new isomorphism classes can be constructed by forming semidirect products between smaller groups. With different constructions, there is a need to distinguish between isomorphic and non-isomorphic groups—a task for which comparing the sizes of normal subgroups and the orders of elements proves useful. Each approach to classification reinforces our understanding of the potential realisations of groups. The classification of Abelian groups is achieved via the fundamental theorem, yet even the structures of small non-Abelian groups can differ markedly from one another. Nonetheless, groups always adhere to certain regularities, and often some additional constraint uniquely determines the remainder of the group's structure. There is one isomorphism class of groups of order seven, whereas there are five isomorphism classes of groups of order eight. Thus, the number of isomorphism classes does not depend directly on the order of the group. Instead, this number is strongly connected to the prime factorisation of the order: the more factors a number has, the more isomorphism classes of that order there are. Groups of composite order can be assembled in various ways from smaller groups, while, as an extreme example, every prime order corresponds to only one isomorphism class consisting solely of the cyclic group. A number-theoretic approach can be further pursued by investigating the isomorphism classes for groups of orders pq and p2, where p and q are primes. For the former, there are one or two classes, whereas for the latter there are always exactly two possibilities. This result further strengthens the connection between the prime factorisation of the order and the structure of the group.

Ryhmä on määritelmältään yksinkertainen matemaattinen rakenne, jonka pohjalta rakentuu monimutkainen ja sovelluksiltaan hedelmällinen matematiikan osa-alue. Luonnollisia esimerkkejä ryhmistä ovat esimerkiksi Rubikin kuution tilat sekä kokonaisluvut modulo n, Zn. Ryhmien hyödyllisyys piilee niiden kyvyssä mallintaa hyvin perustavanlaatuisia järjestelmiä: symmetrioita ja niiden yhdistelmiä. Ryhmäteoreettinen tutkimus on perinteisesti keskittynyt ryhmien tarkkaan luokitteluun. Tässä lähestymistavassa ryhmän toteutuneella sisällöllä ei ole merkitystä, vaan sen sijaan ainoastaan ryhmän alkioiden keskinäiset suhteet määräävät sen luokan. Niin kutsutut ryhmälait asettavat tälle rakenteelle tiukat rajoitteet. Tätä rakennetta tutkimalla saadaan luokittelutuloksia, joilla on laajasti suoria sovelluksia niin kideopissa kuin lukuteoriassa. Tässä kandidaatintyössä tutkitaan tarkasti kokoon 20 asti ryhmien luokittelua ryhmän määritelmästä lähtien. Tärkeässä roolissa ovat työssä esiteltävät ryhmäteorian keskeiset tulokset ja pienten ryhmien rakenteen täsmällinen tarkastelu. Luokittelun avuksi määritellään ryhmään liittyviä läheisiä rakenteita, kuten aliryhmät ja sivuluokat. Näiden avulla päästään käsiksi Sylowin lauseisiin ja äärellisten Abelin ryhmien luokittelun peruslauseeseen, jotka kummatkin ovat voimakkaita työkaluja luokittelumahdollisuuksien rajaamiseen. Toisaalta uusia isomorfismiluokkia saadaan rakennettua pienempien ryhmien välisillä puolisuorilla tuloilla. Eri vaihtoehtoja rakentaessa nousee esiin tarve erottaa isomorfiset ja ei-isomorfiset ryhmät toisistaan, mihin hyödynnetään normaalien aliryhmien kokojen ja alkioiden suuruuksien vertailua. Eri lähestymiset luokitteluun kukin rakentavat ymmärrystä ryhmien mahdollisista realisaatioista. Abelin ryhmien luokittelu onnistuu peruslauseen avulla, mutta pienienkin ei-Abelin ryhmien rakenteet eroavat suuresti toisistaan. Ryhmät kuitenkin noudattavat aina lainalaisuuksia, ja usein jokin reunaehto määrittää yksikäsitteisesti ryhmän muun rakenteen. Seitsemän kokoisia ryhmäluokkia on yksi, kun taas kahdeksan kokoisia on viisi. Isomorfismiluokkien määrä ei siis riipu suoraan tarkasteltavasta ryhmäkoosta. Sen sijaan tällä määrällä on vahva yhteys ryhmäkoon alkutekijähajotelmaan: mitä enemmän luvulla on tekijöitä, sitä enemmän on myös sen kokoisia ryhmäluokkia. Yhdistetyn luvun kokoisia ryhmiä saa eri tavoin koostettua pienemmistä ryhmistä, kun taas ääriesimerkkinä kaikkia alkulukukokoja vastaa vain yksi syklisestä ryhmästä koostuva isomorfismiryhmä. Lukuteoreettista lähestymistapaa voidaan jatkaa tutkimalla isomorfismiluokkia ryhmäkoille pq ja p^2, missä p ja q ovat alkulukuja. Ensimmäiselle on yksi tai kaksi luokkaa, kun taas toiselle on aina kaksi mahdollisuutta. Tämä entisestään vahvistaa luokkamäärien ja koon alkutekijähajotelman yhteyttä.

Description

Supervisor

Kubjas, Kaie

Thesis advisor

Kubjas, Kaie

Keywords

ryhmä, Sylowin lauseet, luokittelu, isomorfismi, Lagrangen lause

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202504293376

Collections

[kand] Perustieteiden korkeakoulu / SCI