Spin Correlation Functions of the Planar Ising Model Using Discrete Complex Analysis and Orthogonal Polynomials

Abstract

The Ising model is a classical model in statistical physics, used to model ferromagnetic behavior of materials. This thesis focuses on the analysis of the diagonal spin-correlation functions in the 2D planar Ising model. The main results are the asymptotics of the spin correlation functions in critical and subcritical temperatures.

We approach the problem by defining a function on a lattice on the complex plane such that it has connections to the spin correlation functions. We use discrete complex analysis to show that this function satisfies a discrete analogue of Laplace's equation. Moreover, the discrete Fourier transform of the function allows us to express the problem of finding the spin correlations as a problem of finding polynomials that satisfy certain orthogonality conditions. In order to solve this problem, we discuss the theory of orthogonal polynomials on the unit circle, and show that the spin correlations can be expressed using the leading coefficients of orthogonal polynomials. In order to determine the asymptotic behavior of these coefficients, we prove the second Szeg\H{o} theorem, which involves expressing the problem of finding orthogonal polynomials as a Riemann--Hilbert boundary value problem.

Ising-malli on klassinen tilastollisen fysiikan malli, jota käytetään ferromagneettisten materiaalien mallintamiseen. Tässä työssä analysoidaan kaksiulotteisen neliöhilan Ising-mallin diagonaalisia spin-korrelaatioita. Työn päätulokset käsittelevät spin-korrelaatiofuntioiden asymptotiikkaa kriittisessä ja alikriittisessä lämpötilassa.

Ongelmaa lähestytään siten, että määritellään funktio hilalla kompleksitasolla siten, että sillä on yhteys spin-korrelaatiofunktioihin. Diskreetin kompleksianalyysin avulla näytetään, että tämä funktio toteuttaa Laplacen yhtälöä vastaavan diskreetin ehdon. Tämän funktion diskreetin Fourier-muunnoksen avulla spin-korrelaatiofunktioiden määrittäminen voidaan ilmaista siten, että etsitään polynomeja, jotka täyttävät tietyt ortogonaalisuusehdot. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käsitellään yksikköympyrän ortogonaalisten polynomien teoriaa ja näytetään, että spin-korrelaatiofunktio voidaan ilmaista ortogonaalisten polynomien johtavien kertoimien avulla. Näiden kertoimien asymptoottisen käyttäytymisen määrittämistä varten todistetaan Szeg\H{o}n toinen lause ilmaisemalla ortogonaalisten polynomien ongelma Riemann--Hilbert reuna-arvo-ongelmana.