An introduction to differential forms on smooth manifolds

Thumbnail Image

Files

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025-11-28

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

en

Pages

82

Series

Abstract

We demonstrate legion definitions and tools required for defining a canonical object of integration over smooth manifolds, which are topological spaces that generalise the idea of being a Euclidean space, and that subsequently admit useful notions of smooth functions and maps defined over a context greatly abstracting from the typicalities of traditional calculus. The resultant object is a differential form, which amalgamates multilinear maps and skew symmetricity with differential operators to yield an object defined over a smooth manifold, and which when adequately transferred into Euclidean space via the structures definitively admitted by smooth manifolds, pertains to and satisfies the requirements of a standard Riemann integrable device, necessarily converging with the notational conventions of an integrand emerging through calculus, which then comes to appear as a construction naturally and ultimately designed for the purpose of its own integration over smooth manifolds. Constructing necessary notions for a suitable generalisation of the boundary of a Euclidean surface or volume to smooth manifolds allows us to state and follow a proof of the generalised Stokes’ Theorem, an astounding generalisation of fundamental results in calculus to the abstract world of smooth manifolds and a deep prerequisite for establishing an even deeper connection between differential and algebraic topology, and summarise select corollaries of the Theorem. This thesis primarily follows the discussions of Lee and Holopainen.

Tässä työssä esitellään lukuisia määritelmiä ja työkaluja, joita vaaditaan luomaan luonnollisella tavalla integroitava objekti sileille monistoille, jotka itsessään ovat Euklidisenä avaruutena olemisen yleistäviä topologisia avaruuksia, joille löytyy järkeviä ja hyödyllisiä määritelmiä sileille funktioille ja kuvauksille, tavallisesta integraalilaskennasta abstraktiotasoltaan merkittävästi poikkeaviin konteksteihin. Integroitavaksi objektiksi määräytyy differentiaalimuoto, joka yhdistää antisymmetrisia multilineaarisia kuvauksia ja differentiaalioperaattoreita. Differentiaalimuodon voi palauttaa Euklidiseen avaruuteen sileiden monistojen määräämien rakenteiden avulla, jossa sen voi integroida tavallisia integraalilaskennan sääntöjä noudattamalla: differentiaalimuoto itsessään ilmenee nimenomaan sileillä monistoilla toteutettavaa integraalilaskentaa varten luotuna objektina. Rakennettuaan sopivia yleistyksiä Euklidisten pintojen tai niiden raajamien tilavuuksien reunojen käsitteelle todetaan ja seurataan todistusta yleistetylle Stokesin lauseelle, joka on itsessään sileille monistoille sopiva merkittävä yleistys integraalilaskennan perustaville tuloksille, sekä tarpeellinen työkalu algebrallisen ja differentiaalitopologian välisen syvän yhteyden luomiselle. Esitämme myös muutamia yleistetyn Stokesin lauseen seurauksia. Tämän opinnäytteen päälähteinä toimivat Leen ja Holopaisen kirjallisuus.

Description

Supervisor

Rogovin, Sari

Thesis advisor

Rogovin, Sari

Keywords

differential topology, differential forms, smooth manifolds, Stokes' Theorem

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202512028972

Collections

[kand] Perustieteiden korkeakoulu / SCI