Symmetries of partial differential equations

Abstract

In this master's thesis we describe the basic theory of symmetries of PDEs. For example, elementary courses on ODEs and PDEs include a collection of ad hoc tricks for obtaining the classical solution of the equation at hand Symmetry theory gives means of constructing (most of) these tricks using a general procedure. This procedure consists of solving certain system of linear PDEs which, in principle, can always be solved and whose solutions are the (classical) symmetries of the given ODE or PDE. Obtained symmetries are then used to reduce (by moving to quotient spaces) the order or the number of independent/dependent variables of the (possibly non-linear) ODE or PDE one is interested in. The fundamental tools for calculating symmetries are the recursion formula (theorem 4.15) and the Lie-Bäcklund theorem (theorems 5.16 and 5.17).

PDEs (as well as ODEs) are defined to be closed subsets (definition 4.1) of the so-called jet-spaces (section 2.2) which are smooth manifolds. A symmetry of a PDE (definition 4.8) is then a Lie group with an action on the ambient jet-space such that it leaves the PDE invariant as a set and preserves the so-called Cartan distribution (definition 3.3) which is a natural structure in the jet-spaces. This Cartan distribution plays, in a sense, the role of (partial) derivatives for a PDE and it distinguishes a PDE from an algebraic equation.

Tässä diplomityössä esittelemme osittaisdifferentiaaliyhtälöiden (ODY) symmetriateorian alkeet. Differentiaaliyhtälöiden (DY) ja ODY:iden peruskursseilla opetetaan useita "trikkejä", joiden avulla yhtälön (klassinen) ratkaisu johdetaan. Nämä "trikit" voidaan kuitenkin useimmiten konstruoida symmetriateorian yleisiä menetelmiä käyttäen. Tätä menetelmää varten joudutaan ratkaisemaan lineaarinen ODY-ryhmä, mikä on aina periaatteessa mahdollista, ja jonka ratkaisut ovat annetun DY:n tai ODY:n (klassisia) symmetrioita. Saatujen symmetrioiden avulla voidaan tutkittavaa (mahdollisesti epälineaarista) DY:tä tai ODY:ä yksinkertaistaa (tekijäavaruuteen siirtymällä) siten, että joko yhtälön asteluku pienenee tai sitten riippuvien/riippumattomien muuttujien määrä laskee. Perustyökaluja symmetrioiden laskemista ajatellen ovat rekursiokaava (lause 4.15) ja Lie-Bäcklundin lause (lauseet 5.16 ja 5.17).

ODY:iden (ja myös DY:iden) määritellään olevan niin sanottujen jet-monistojen (osio 2.2) suljettuja osajoukkoja (määritelmä 4.1). ODY:n symmetria (määritelmä 4.8) on Lie-ryhmä, joka vaikuttaa ODY:ä ympäröivässä jet-avaruudessa ja joka ei muuta ODY:ä joukkona ja myös säilyttää niin sanotun jet-avaruuteen liittyvän Cartan-tasokentän (määritelmä 3.3). Cartan-tasokenttä on luonnollinen rakenne jet-avaruuksissa ja sen roolina on tavallaan toimia (osittais)derivaattoina, mikä erottaa ODY:n tavallisesta algebrallisesta yhtälöstä.