Homotopiaryhmä

Abstract

Työssä johdetaan jokaiselle topologiselle avaruudelle ensimmäinen homotopiaryhmä, jota kutsutaan myös perusryhmäksi, ja jokaiselle jatkuvalle kuvaukselle määritellään perusryhmien välinen indusoitu homomorfismi. Perusryhmien ja indusoitujen homomorfismien näytetään muodostavan perusryhmäfunktorin, joka on invariantti homotopiaekvivalenssin suhteen. Sitten perusryhmiä lasketaan erilaisille topologisille avaruuksille — ensin triviaaleissa tapauksissa ja sitten ympyrän ja pallon tapauksessa.

Työn tuloksia sovelletaan kahden eri lauseen, algebran peruslauseen ja Brouwerin kiintopistelauseen, todistamisessa. Ongelman esittäminen topologisten avaruuksien välisenä vaihdannaiskaaviona, jossa se voidaan funktorin avulla kuvata perusryhmien väliseksi vaihdannaiskaavioksi, mahdollistaa ongelman ratkaisemisen algebrallisin menetelmin.

In this thesis, we derive the first homotopy group, also known as the fundamental group, for each topogical space. To each continuous map, we define the induced homomorphism between fundamental groups. We show that this mapping between topology and algebra defines the fundamental group functor, which is homotopy invariant. We calculate the fundamental groups of various spaces — first in trivial cases and then for the sphere and the ball.

We apply the results in proving two different theorems: the fundamental theorem of algebra and the Brouwer fixed-point theorem. Presenting the problem as a commutative diagram, to which the functor can then be applied to, allows solving the problem in algebraic terms.