Homotopiaryhmä

Thumbnail Image

Files

Harlas_Eeli_2025.pdf (564.46 KB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025-08-20

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

fi

Pages

41

Series

Abstract

Työssä johdetaan jokaiselle topologiselle avaruudelle ensimmäinen homotopiaryhmä, jota kutsutaan myös perusryhmäksi, ja jokaiselle jatkuvalle kuvaukselle määritellään perusryhmien välinen indusoitu homomorfismi. Perusryhmien ja indusoitujen homomorfismien näytetään muodostavan perusryhmäfunktorin, joka on invariantti homotopiaekvivalenssin suhteen. Sitten perusryhmiä lasketaan erilaisille topologisille avaruuksille — ensin triviaaleissa tapauksissa ja sitten ympyrän ja pallon tapauksessa. Työn tuloksia sovelletaan kahden eri lauseen, algebran peruslauseen ja Brouwerin kiintopistelauseen, todistamisessa. Ongelman esittäminen topologisten avaruuksien välisenä vaihdannaiskaaviona, jossa se voidaan funktorin avulla kuvata perusryhmien väliseksi vaihdannaiskaavioksi, mahdollistaa ongelman ratkaisemisen algebrallisin menetelmin.

In this thesis, we derive the first homotopy group, also known as the fundamental group, for each topogical space. To each continuous map, we define the induced homomorphism between fundamental groups. We show that this mapping between topology and algebra defines the fundamental group functor, which is homotopy invariant. We calculate the fundamental groups of various spaces — first in trivial cases and then for the sphere and the ball. We apply the results in proving two different theorems: the fundamental theorem of algebra and the Brouwer fixed-point theorem. Presenting the problem as a commutative diagram, to which the functor can then be applied to, allows solving the problem in algebraic terms.

Description

Supervisor

Alestalo, Pekka

Thesis advisor

Alestalo, Pekka

Keywords

algebrallinen topologia, homotopia, funktori, perusryhmä, brouwerin kiintopistelause, algebran peruslause

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202512028971

Collections

[kand] Perustieteiden korkeakoulu / SCI