aalto1 untyped-item.component.html
Fundamental theorems of asset pricing in finite discrete time
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
SCI3029
Degree programme
Language
en
Pages
37
Series
Abstract
The valuation of assets and risk management in financial markets are central themes in modern mathematical finance theory as well as in financial economics. Mathematical models in both fields provide a framework for formalizing the concepts of asset markets through various mathematical market descriptions. Connected to these descriptions are the Fundamental Theorems of Asset Pricing (FTAP), which are part of defining the theoretical basis for coherent markets.
The First Fundamental Theorem can be considered the most important result in mathematical finance, as its validity generally prevents the market model from allowing an economically problematic arbitrage opportunity in asset pricing. However, numerous forms of both theorems exist as the required mathematical formalism depends on the assumptions contained in the market descriptions. Together, the first and second fundamental theorems of asset pricing create a link between economic principles and probabilistic concepts, such as martingale theory.
This thesis examines the first and second fundamental theorems of asset pricing in discrete and finite-time. As in other market contexts, the fundamental theorems of asset pricing form the theoretical basis for evaluating pricing models. By assuming finite-horizon markets, the required mathematical theory is lightened compared to more complex continuous-time descriptions. The primary objective is to provide a principles-based introduction to these theorems within the given, simpler-than-reality, scope.
Initially, necessary mathematical concepts such as filtered probability spaces and conditional expectation are introduced, and the basics of martingale theory are reviewed. With these concepts, a discrete-time market model is defined, along with the key notions of self-financing trading strategies, contingent claims, and market completeness. The central economic principle of no-arbitrage is formalized mathematically, which lays the groundwork for the main results.
The main results are presented as regulated by market assumptions. We demonstrate that the absence of arbitrage in the market is equivalent to the existence of an equivalent martingale measure (the first theorem), which provides the theoretical justification for the risk-neutral pricing model. Subsequently, we show that the uniqueness of such a measure is equivalent to market completeness (the second theorem). Thus, we establish a connection between the replication of contingent claims and the set of risk-neutral measures. The theoretical results are illustrated with concrete examples, such as the binomial and trinomial models, which highlight the practical differences between complete and incomplete markets.
Our analysis confirms the central role of martingale theory as a unifying factor in understanding arbitrage, replication, and pricing. Furthermore, the analysis generally shows how abstract mathematical concepts can be used to model the structure of financial markets.
Rahoitusmarkkinoilla omaisuuserien arvostus ja riskienhallinta ovat keskeisiä teemoja modernin matemaattisen rahoituksen teoriassa, kuin myös rahoitustaloustieteessä. Molempien alojen matemaattiset mallit tarjoavat olennaisen viitekehyksen omaisuuserien markkinoiden käsitteiden formalisoinnille eriävien matemaattisten markkinakuvausten avulla. Näihin kuvauksiin perusteellisesti kytkeytyneenä ovat hinnoittelun peruslauseet (FTAP), jotka ovat osana määrittelemässä johdonmukaisten markkinoiden teoreettista perustaa.
Ensimmäistä peruslausetta voidaankin pitää matemaattisen rahoitusteorian tärkeimpänä tuloksena, sillä yleisesti sen ollessa voimassa markkinamalli ei mahdollista taloustieteellisesti ongelmallista arbitraasimahdollisuutta omaisuuserien hinnoittelussa. Molemmista lauseista on kuitenkin olemassa lukuisia muotoja, sillä tarvittava matemaattinen formalismi riippuu markkinakuvausten sisältämistä oletuksista. Yhdessä ensimmäinen ja toinen hinnoittelun peruslause luovat yhteyden taloustieteellisten periaatteiden ja todennäköisyysteoreettisten käsitteiden, kuten martingaaliteorian, välille.
Tässä työssä tarkastellaan arvopaperien hinnoittelun ensimmäistä ja toista peruslausetta diskreetissä ja äärellisessä ajassa. Kuten muissakin markkinakonteksteissa, hinnoittelun peruslauseet muodostavat hinnoittelumallien arvioinnin teoreettisen perustan. Olettamalla äärellisen aikahorisontin markkinat, keventyy käsittelyyn tarvittava matemaattinen teoria verrattuna monimutkaisempiin jatkuvan ajan kuvauksiin. Ensisijaisena tavoitteena onkin tarjota perusperiaatteista lähtevä johdatus näihin lauseisiin annetussa, todellisuutta yksinkertaisemmassa, rajauksessa.
Aluksi esitellään tarvittavia matemaattisia peruskäsitteitä, kuten filtteröidyt todennäköisyysavaruudet ja ehdollinen odotusarvo, sekä käydään läpi martingaaliteorian perusteet. Näiden käsitteiden avulla määritellään diskreettiaikainen markkinamalli sekä keskeiset itseään rahoittavien kaupankäyntistrategioiden, johdannaisvaateiden ja markkinoiden täydellisyyden käsitteet. Keskeinen taloustieteellinen arbitraasittomuuden periaate formalisoidaan matemaattisesti, mikä luo pohjan päätuloksille.
Päätulokset esitellään markkinaoletusten sääteleminä. Aluksi osoitetaan, että arbitraasin poissaolo markkinoilla on yhtäpitävää ekvivalentin martingaalimitan olemassaolon kanssa (ensimmäinen lause), mikä antaa teoreettisen perustelun riskineutraalin hinnoittelun mallille. Tämän jälkeen osoitetaan, että kyseisen mitan yksikäsitteisyys on yhtäpitävää markkinoiden täydellisyyden kanssa (toinen lause). Näin luodaan yhteys johdannaisvaateiden replikoinnin ja riskineutraalien mittojen joukon välille. Teoreettisia tuloksia havainnollistetaan konkreettisilla esimerkeillä, kuten binomi- ja trinomimalleilla, jotka korostavat täydellisten ja epätäydellisten markkinoiden käytännön eroja.
Tarkastelumme vahvistaa martingaaliteorian keskeisen roolin yhdistävänä tekijänä arbitraasin, replikoinnin ja hinnoittelun ymmärtämisessä. Lisäksi tarkastelu osoittaa yleisesti, kuinka abstrakteja matemaattisia käsitteitä voidaan käyttää rahoitusmarkkinoiden rakenteen mallintamiseen.