Functionals of linear growth on metric measure spaces

Abstract

In recent years there has been a lot of study in metric measure spaces equipped with a doubling measure and supporting a Poincaré-inequality. Lots of classical theory has been generalized to hold in these spaces especially regarding calculus of variations. Notions of Sobolev spaces and spaces of functions of bounded variation have been established in this generality and in this thesis the aim is to study functionals with linear growth, a class of functionals that includes e.g. the total variation and the area functional.

This thesis will study existence and regularity properties of minimizers of functionals with linear growth and it turns out as expected that a minimizer always exists in the class of functions of bounded variation. We will moreover show that the minimizers are locally bounded but not necessarily continuous even inside the domain.

It will be furthermore shown that the functionals of linear growth defie a Radon measure, whose singular part can be represented as an integral with respect to the singular part of the total variation measure but it turns out that the same does not hold for the absolutely continuous part, for which only an upper and a lower bound can be found in terms of an integral with respect to the absolutely continuous part of the total variation measure. A counterexample shows that we cannot dismiss the multiplicative constant that appears in the upper bound.

Viime vuosina on tehty paljon tutkimusta metrisissä mitta-avaruuksissa, jotka on varustettu tuplaavalla mitalla ja joissa pätee Poincarén epäyhtälö. Suuri osa klassista teoriaa erityisesti liittyen variaatiolaskentaan on yleistetty näihin avaruuksiin. Esimerkiksi Sobolevin avaruus ja BV-funktioavaruus ovat määritelty myös tässä yleisyydessä. Tämän opinnäytetyön tarkoituksena on tutkia lineaarisen kasvun funktionaaleja, joihin kuuluvat esimerkiksi totaalivariaatio ja area-funktionaali.

Tässä opinnäytetyössä tutkitaan lineaarisen kasvun funktionaalien minimoijien olemassaoloa ja säännöllisyyttä. Työssä näytetään, että tutkituille funktionaaleille on aina olemassa minimoija BV-funktioiden luokassa. Työssä osoitetaan myös se, että minimoijat ovat lokaalisti rajoittuneita, mutta eivät välttämättä jatkuvia edes määrittelyjoukkojensa sisäpisteissä.

Lisäksi työssä näytetään, että lineaarisen kasvun funktionaalit määrittelevät Radon mitan, jonka singulaariosa voidaan esittää integraalina totaalivariaatiomitan singulaariosan suhteen. Sama ei kuitenkaan päde absoluuttisesti jatkuvalle osalle, jolle saadaan esitettyä vain ylä- ja alaraja integraalina totaalivariaatiomitan absoluuttisesti jatkuvan osan suhteen. Vastaesimerkki osoittaa, että ylärajassa olevaa ylimääräistä vakiota ei voida hylätä.