Conformally invariant scaling limits of random curves and correlations

Abstract

This thesis studies scaling limits of critical random models on planar graphs, when a fine-mesh graph approximates a planar domain. Such studies are motivated by quantum field theoretic predictions that suggest the emergence of intricate, conformally invariant structures from simple combinatorial models. We take a mathematical approach, formalizing our results in terms of SLE type conformally invariant random curves or certain expected values, called boundary correlation functions in physics.

In the first publication of this thesis, we study two related random models, the uniform spanning tree (UST) and the loop-erased random walk (LERW). We obtain conformally covariant expressions for the scaling limit probabilities of certain UST branch connectivities and of LERW boundary visits. These expressions are solutions to partial differential equations (PDEs) of second and third order, respectively, and such solutions appear in Conformal field theory (CFT) as boundary correlation functions. CFT predicts such PDEs of arbitrarily high order, and this is among the first verifications of higher-than-second order PDEs.

The PDE solutions from the first publication can also be interpreted as weights that conjecturally convert the SLE(2) random curve measure, the scaling limit of a UST branch and a LERW, to multiple or boundary-visiting SLE(2). In the second publication, we elaborate this connection by finding an explicit relation between certain multiple SLE(k) weights, called pure partition functions, and certain CFT boundary correlation functions, called conformal blocks.

The third and fourth publication concern the weak convergence of the joint law of multiple lattice curves to multiple SLE type random curves. We first provide a result that guarantees at least subsequential convergence to some limiting random curves, given certain standard crossing estimates in the lattice models. Second, we show how such limits can be described by iteratively sampling the curves one by one from the weighted one-curve SLE(k) measures described above. These tools are applied to characterize the scaling limits of multiple curves in various random models, such as multiple UST branches.

Väitöskirjassa tutkitaan tasoverkoilla määriteltyjen kriittisten satunnaismallien skaalausrajoja, joissa pienenevän hilavälin verkot approksimoivat tasoaluetta. Kvanttikenttäteorian keinoin on ennustettu yksinkertaisten kombinatoristen mallien skaalausrajoille monimutkaisia konformi-invariantteja rakenteita. Väitöskirjassa skaalausrajoja tutkitaan matemaattisesta näkökulmasta ja tulokset muotoillaan joko SLE-tyyppisten konformi-invarianttien satunnaiskäyrien tai eräiden fysiikassa reunakorrelaatiofunktioiksi kutsuttujen odotusarvojen kautta. Väitöskirjatyön ensimmäisessä julkaisussa tutkitaan kahta läheisesti toisiinsa liittyvää satunnaismallia: tasajakautunutta virittäjäpuuta ja silmukkapyyhittyä satunnaiskävelyä. Eräille tasajakautuneen virittäjäpuun oksien yhdistymistodennäköisyyksille sekä silmukkapyyhityn satunnaiskävelyn reunavierailutodennäköisyyksille johdetaan skaalausrajalla konformikovariantit lausekkeet. Nämä lausekkeet ovat toisen ja kolmannen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisuja, joita kutsutaan konformikenttäteoriassa reunakorrelaatiofunktioiksi. Konformikenttäteorian keinoin on ennustettu mielivaltaisen korkean kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, ja työssä saatu tulos on ensimmäisiä matemaattisia todistuksia korkeamman kuin toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöille. Yllä mainitut osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisut voidaan myös tulkita painoina, joiden odotetaan muuntavan tasajakautuneen virittäjäpuun oksan sekä silmukkapyyhityn satunnaiskävelyn SLE(2)-skaalausrajan moni-SLE(2)-kokoelman satunnaiskäyräksi tai reunavierailevaksi SLE(2)-satunnaiskäyräksi. Väitöskirjatyön toisessa julkaisussa tutkitaan tätä konformikenttäteorian ja satunnaisgeometrian välistä yhteyttä. Siinä eräiden puhtaiksi partitiofunktioiksi kutsuttujen moni-SLE(k)-painofunktioiden sekä eräiden konformiblokkifunktioiksi kutsuttujen konformikenttäteorian reunakorrelaatiofunktioiden välille johdetaan eksplisiittinen yhteys. Väitöskirjatyön kolmas ja neljäs julkaisu käsittelevät tasoverkkojen satunnaismalleista saatavien käyräkokoelmien heikkoa suppenemista moni-SLE-tyyppisiin satunnaiskäyräkokoelmiin. Ensimmäiseksi johdetaan tulos, joka takaa verkon satunnaskäyräkokoelmien heikkojen osajonorajojen olemassaolon eräiden vakiintuneiden ylitystodennäköisyysestimaattien ollessa voimassa diskreeteille käyrille. Tämän jälkeen näytetään, miten näin saatavat rajat voidaan kuvailla iteroidulla satunnaisotannalla, jossa käyrät kasvatetaan yksi kerrallaan yllä mainituista painotetuista yhden satunnaiskäyrän SLE(k)-mitoista. Näitä kahta tulosta sovelletaan satunnaiskäyräkokoelmien skaalausrajojen karakterisoimiseen useille tasoverkkojen satunnaismalleille, kuten tasajakautuneen virittäjäpuun oksille.