Lebesgue space norm estimates for the spherical maximal function

Abstract

The Hardy-Littlewood maximal function, defined as the supremum of integral averages of a function over balls, is a classical and well-known tool in analysis. One essential property of the maximal function is the Hardy-Littlewood maximal inequality, which states that a weak type Lebesgue space norm estimate holds for p=1, and a strong type estimate holds for all p>1.

In this thesis, a more general spherical maximal operator is studied. Instead of balls, the integral average is taken over the boundary of the ball, with respect to the n-1-dimensional spherical measure. The main result of this work is a Lebesgue space norm estimate for the spherical maximal function.

We study the Fourier transform of a radially restricted spherical average operator. The dyadic Littlewood-Paley decomposition and a decay estimate for the Fourier transform of the spherical measure are used to prove L^p to L^q estimates on certain pairs (p,q). These results are then generalized to the full maximal operator, and interpolated for more general pairs (p,q).

Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio on klassinen ja hyvin tunnettu operaattori, joka on määritelty pallon yli laskettujen integraalikeskiarvojen supremumina. Yksi maksimaalifunktion tärkeä ominaisuus on Hardy-Littlewoodin maksimaalilause, jonka mukaan operaattorille pätee heikon tyypin Lebesguen normiestimaatti kun p=1, ja vahvan tyypin estimaatti kaikille p>1.

Tässä diplomityössä tutkitaan yleisempää pallopinnan maksimaalifunktiota. Pallojen sijaan funktion integraalikeskiarvo lasketaan pallopinnan yli n-1-ulotteisen pintamitan suhteen. Työn päätulokset ovat Lebesgue avaruuden normiestimaatit pallopinnan maksimaalifunktiolle.

Tutkimme radiaalisesti rajoitettua pallopinnan integraalikeskiarvo-operaattorin Fourierin muunnosta. Dyadista Littlewood-Paleyn hajotelmaa ja pintamitan Fourierin muunnoksen vähenevää estimaattia käyttämällä todistetaan L^p,L^q-normiestimaatteja tietyille (p,q)-pareille. Nämä estimaatit voidaan yleistää täydelle maksimaalioperaattorille ja interpoloida yleisemmille (p,q)-pareille.