Dynamical mean-field theory studies of superfluidity and topological phases in lattice models

Abstract

Quantum mechanical lattice models, such as the famous Hubbard model, were originally intended as simplified descriptions of the behavior of electrons in real solids. Today it is clear that even such simple models can present remarkably rich physics. At the same time, obtaining reliable solutions for correlated quantum systems is difficult and requires the development of both computing resources and new algorithms and approximations. Parallel with the theoretical developments, applications of lattice models have also expanded to the study of ultracold atoms in optical lattices. The hallmark of these experiments is the possibility to design different kinds of lattices and to tune the interactions between the atoms, making it possible to do real experiments on theoretical "toy models".

In this thesis we have used dynamical mean-field theory (DMFT) and its cluster extensions to study superfluidity and topological phenomena in lattice models. The DMFT combines the exact solution of a small reference system with a self-consistent mean-field treatment of the rest of the lattice. After a short introduction to the physical background of the lattice models, we review the formal definition and practical aspects of the DMFT method. We discuss the Baym-Kadanoff-Luttinger-Ward functional formalism that can be used to derive the DMFT equations, and review the numerical exact diagonalization and continuous-time quantum Monte-Carlo algorithms that were used in the implementation of the method.

Publications I and VI discuss superfluid states induced by correlation effects that cannot easily be treated within a static mean-field theory. In Publication I we study a bilayer system where two different types of superfluids can be found depending on the densities of particles in the layers. Publication VI has a focus in the d-wave superconductivity and non-uniform, striped magnetism of the two-dimensional Hubbard model, which are thought to be connected with the high-Tc superconductivity in cuprate materials. The stripe state along with non-Fermi-liquid properties visible only in a beyond-mean-field treatment were observed also in the study of the Hubbard model on the Lieb lattice in Publication V.

Topological and geometric properties of lattice systems, such as the Berry curvature and Chern numbers, play a central role in Publications II, III and IV. In Publication II we used exact diagonalization, DMFT and mean-field theory to study the topological phase diagram of an interacting Haldane model. The methods consistently predict a phase diagram with an interme-diate topological phase not found in the well-known non-interacting case. In Publications III and IV mean-field theory is used to study the connection between Berry curvature and the superfluid weight in lattice models, and DMFT calculations were used to support the mean-field results. Topological lattice systems have recently been realized in ultracold gas experiments and it is hoped that the calculations presented here inspire this line of research.

Kvanttimekaaniset hilamallit, kuten tunnettu Hubbardin malli, muotoiltiin alun perin yksinkertaistetuiksi kuvauksiksi elektronien käyttäytymisestä kiinteissä aineissa. Jopa tällaiset yksinkertaistetut mallit sisältävät hyvinkin monimuotoista fysiikkaa. Vuorovaikuttavien kvant-timekaanisten mallien luotettava ratkaiseminen on kuitenkin vaikeaa ja vaatii sekä kasvavia laskentaresursseja että uusien algoritmien ja approksimaatioiden kehittämistä. Hilamallien sovel-luskohteet ovat viime aikoina laajentuneet myös ultrakylmiin kaasuihin optisissa hiloissa. Näissä kokeissa voidaan suunnitella ja toteuttaa erilaisia hilarakenteita ja säätää atomien välisiä vuorovaikutuksia, mikä mahdollistaa myös teoreettisten "lelumallien" testaamisen.

Tässä väitöskirjassa käytetään dynaamista keskeiskenttäteoriaa (dynamical mean-field theory, DMFT) ja sen klusterilaajennoksia hilamalleissa esiintyvien supranesteiden ja topologisten ilmiöiden tutkimiseen. DMFT yhdistää pienen referenssissysteemin eksaktin ratkaisun suuren systeemin approksimatiiviseen käsittelyyn. Johdanto-osassa esitellään lyhyesti hilamallien fysikaalista taustaa ja käydään läpi dynaamisen keskeiskenttäteorian määritelmä käyttäen hyväksi Baym-Kadanoff-Luttinger-Ward funktionaalin teoriaa. Tämän jälkeen kerrataan myös työssä käytettyjen numeeristen menetelmien, eksaktin diagonalisoinnin ja jatkuvan ajan Monte-Carlo algoritmien, periaatteita.

Julkaisuissa I ja VI tutkitaan korrelaatioiden seurauksena syntyviä supranesteitä joita ei voi käsitellä yksinkertaista keskeiskenttäteoriaa käyttäen. Julkaisussa I tutkitaan kaksikerroksista hilamallia, jossa esiintyy kaksi erilaista supranestetilaa riippuen hiukkasten tiheydestä eri kerroksissa. Julkaisussa VI puolestaan tutkitaan kaksiuloitteista Hubbardin mallia, jossa esiintyvällä d-aalto suprajohtavuudella oletetaan olevan yhteys korkeisiin kriittisiin lämpötiloihin kupraattimateriaaleissa. Erityisesti tutkittiin suprajohtavuuden ja magnetismin yhteisvaikutusta tilassa, jossa magnetoituman voimakkuus ei ole tasainen kaikkialla hilassa. Aaltoileva magne-toituma havaittiin myös Hubbardin mallissa Liebin hilalla julkaisussa V, jossa tutkittiin systeemin ferminesteteoriasta poikkeavia ominaisuuksia.

Julkaisuissa II, III ja IV kvanttitilojen geometriset ja topologiset ominaisuudet, kuten Berryn kaarevuus ja Chernin luku ovat keskeisiä. Julkaisussa II käytetään eksaktia diagonalisointia, DMFT:tä ja keskeiskenttäteoriaa kuvaamaan vuorovaikutuksia Haldanen mallissa. Menetelmät ennustavat, että vuorovaikuttavassa mallissa esiintyy topologinen faasi, jota ei nähdä hyvin tun-netussa vuorovaikuttamattomassa tapauksessa. Julkaisuissa III ja IV puolestaan tutkitaan supra-nestetiheyden ja Berryn kaarevuuden yhteyttä hilamalleissa, ja DMFT:tä käytetään tukemaan keskeiskenttäteorian tuloksia. Topologisia malleja on viime aikoina tutkittu ultrakylmissä kaa-suissa, ja tässä väitöskirjassa esitetyt laskelmat osaltaan motivoivat uutta kokeellista tutkimusta.